Continuité - conservation de la masse

Équation de la conservation de la masse

La conservation de la masse exprime que dans un domaine clos, il n'y a pas de création de masse et que la masse ne varie pas, n’apparaît pas et ne disparaît pas. Si on considère un sous-domaine, on peut observer des transits de masse qu'il convient d'étudier.

Considérons un contenant aux parois rigides et étanches comportant une entrée de section A1 et une sortie de section A2. Considérons un écoulement stationnaire d'un fluide le traversant.

Pour une période de temps donnée, les masses entrante et sortante sont les mêmes. Donc, de façon instantanée on peut exprimer que le taux de variation de la masse, c'est à dire le débit massique, est le même à l'entrée et à la sortie.

Conservation de la masse pour un écoulement stationnaire dans un conduit aux parois étanchesInformations[1]

En considérant que le fluide se déplace dans le conduit et que les vitesses \(v\) de l'écoulement sont normales aux sections \(A\).

On peut exprimer la conservation de la masse entre l'entrée 1 et la sortie 2 par :

\(\rho_1v_1A_1=\rho_2v_2A_2\)

\(v_1\) et \(v_2\) sont appelées alors vitesses débitantes.

Définition

Le débit massique :

ρ Q = ρ v A %rho*{Q} = %rho {v} {A}

avec comme unités :

\((kg/m^3)*(m^3/s) = kg/s\)

Le débit volumique s'exprime par :

Q = v A {Q} = {v} * {A}

avec comme unités :

\(m^3/s=(m/s)* m^2\)

Remarque

L'incompressibilité de l'eau implique :

  • Pas de stockage lors d'écoulement en charge sans surface libre, cela permet de généraliser pour tout écoulement instationnaire

  • Le débit massique est à une constante près équivalent au débit volumique

En pratique, on utilise souvent le débit volumique pour vérifier la conservation de la masse.

ExempleConservation de la masse dans un aspirateur

L'écoulement en charge est guidé par les parois solides qui influencent sa direction moyenne. Pour la vitesse moyenne, sa grandeur dépend de la section normale à la direction moyenne. On analyse ainsi un comportement significatif de façon unidimensionnelle.

Pour l'analyse, le long d'une abscisse curviligne, on détermine une direction moyenne de l'écoulement. Tout le long de cette abscisse, on calcule une section de passage qui lui est perpendiculaire. Comme il n'y a pas de dérivation ou d'apport, il y a conservation du débit tout le long de l'abscisse curviligne.

Géométrie d'un aspirateur en trois dimensionsInformations[2]

On peut rapporter le long de l'abscisse curviligne la loi de section et la vitesse en découlant pour un débit donné.

Analyse unidimensionnelle d'un aspirateur typiqueInformations[3]

Il ne faut pas oublier que cette vision unidimensionnelle de l'écoulement est une représentation beaucoup plus simple que la réalité tridimensionnelle. En effet, la vitesse moyenne ne décrit pas bien les vitesses obtenues en tout point d'un aspirateur.

Comparaison des lignes de courant dans un aspirateur à deux points de fonctionnementInformations[4]