Application de la similitude mécanique à l'équation de Bernoulli

En fluide parfait

Soit deux systèmes en similitude et en fluide parfait décrits en un point par Bernoulli :

Pour le système 1 :

E ' = g ' H ' = g ' z ' + V ' 2 2 + p ' ρ ' E'=g'H' = g'z'+ {V'^2} over {2} + {p'} over { %rho '}

Pour le système 2 :

E ' ' = g ' ' H ' ' = g ' ' z ' ' + V ' ' 2 2 + p ' ' ρ ' ' E''=g''H'' = g''z''+ {V''^2} over {2} + {p''} over { %rho ''}

En considérant que les deux systèmes sont soumis à la même gravité et ont un fluide de même densité, le rapport des énergies totales des 2 systèmes donne :

gH ' gH ' ' = gz ' + V ' 2 2 + p ' ρ gz ' ' + V ' ' 2 2 + p ' ' ρ H ' H ' ' ( gz ' ' + V ' ' 2 2 + p ' ' ρ ) = gz ' + V ' 2 2 + p ' ρ H * gz ' ' + H * V ' ' 2 2 + H * p ' ' ρ = z * gz ' ' + V *2 V ' ' 2 2 + p * p ' ' ρ {gH'} over {gH''} = {gz'+ {V'^2} over {2} + {p'} over { %rho }} over {gz''+ {V''^2} over {2} + {p''} over { %rho }} newline {H'} over {H''} left ( {gz''+ {V''^2} over {2} + {p''} over { %rho }} right ) ={gz'+ {V'^2} over {2} + {p'} over { %rho }} newline H^"*"gz''+ H^"*"{V''^2} over {2} + H^"*"{p''} over { %rho }=z^"*"gz''+V^"*2"{V''^2} over {2}+p^"*" {p''} over { %rho}

Ce qui nous amène aux lois de similitude suivantes :

z * = H * V *2 = H * p * = H * z^"*"=H^"*" newline V^"*2"=H^"*" newline p^"*"=H^"*"

DéfinitionLa condition de Combe-Rateau 1892

La relation

V *2 = H * ou V * = H * V^"*2"=H^"*" ou V^"*"= sqrt{H^"*" }

est indépendante de la dimension des turbines. C'est la relation de Combe-Rateau ou similitude cinématique de Combe-Rateau.

  • L'échelle des vitesses et celle des longueurs sont indépendantes (la vitesse est liée à l'énergie seulement)

    • Peu importe la dimension de la turbine, il sera toujours possible de représenter le champ de vitesse à un facteur près.

    • C'est la seule condition qui doit toujours être respectée pour être en similitude.

  • C'est moins contraignant que la condition de Froude mais l'étendue de la similitude est réduite:

    • Le champ de pression n'est plus en similitude particulièrement si les dimensions de la turbine sont proches de la chute. Cet inconvénient devra être évalué et géré.

  • Il ne faut pas oublier que la similitude de Bernoulli qui nous a amené à la condition de Combe-Rateau s'appuie sur l'hypothèse d'un fluide parfait. C'est donc une approximation.