L'hydrostatique et l'équilibre des forces dans un champ d'accélération

La pression dans un fluide peut être créée par un champ d'accélération. Dans une turbine hydraulique, on identifie trois possibilités :

  • La pression due à la gravité

  • La pression due à la rotation :

    • dans un tourbillon forcé,

    • dans un tourbillon libre.

FondamentalLa pression due à la gravité

La pression hydrostatique pour un fluide incompressible s'exprime :

p = ρ g z p= %rho {g} {z}

\(Pa = {kg/m^3}× {m/s^2}× m = N/m^2\)

Coupe d'un barrageInformations[1]

La différence de pression entre deux points peut aussi être vue comme une énergie massique potentielle :

E = p ρ = g z E={p} over { %rho } = {g} * {z}

\(J/kg = Pa / (kg/m^3) = m^2 /s^2\)

Dans la pratique, l'usage est de présenter le niveau d'énergie par la variable \(H\) en mce[2].

Ainsi : \(H = E/g\)

Le niveau d'eau est toujours une position relative, on l'exprime souvent par rapport au niveau de la mer. Il correspond donc à un niveau d'énergie. On utilise parfois l'expression mce pour le dimensionner, cela correspond à mètre de colonne d'eau, cet usage fait du niveau d'eau une expression d'un niveau d'énergie. Sur la coupe du barrage la différence entre le niveau amont et aval représente une énergie disponible, exprimée en mce cela correspond à la définition de la chute brute.

ComplémentEffort sur une surface verticale dû à la pression hydrostatique

Effort de pression sur une paroi verticaleInformations[3]

Il s'agit ici de calculer la force résultant de la pression hydrostatique sur la face verticale d'une paroi. D'abord, on exprime cette force comme étant l'intégrale de la pression sur cette surface puis on la représente constante sur toute la largeur (\(L_p\)) du barrage :

F = p dA F L p = 0 Z ρ g z dz F L p = ρ g Z 2 2 {F} = int p dA newline { {F} } over {L_p} = int from{0} to{Z} %rho {g} {z} dz newline { {F} } over {L_p} = {%rho {g} Z^2} over {2}

Maintenant pour le couple de renversement causé par la force résultant du champ de pression :

M = F Z c = p z dA F L p Z c = 0 Z ρ g z 2 dz F L p Z c = ρ g Z 3 3 {M} = {F} Z_c = int p {z} dA newline { {F} } over {L_p} Z_c = int from{0} to{Z} %rho {g} {z} ^2 dz newline { {F}} over {L_p} Z_c = {%rho {g} Z^3} over {3}

La position de la force qui cause ce moment est :

Z c = 2 3 Z Z_c= {2} over {3} Z

FondamentalChamp de pression généré par un tourbillon forcé

Dans une rotation, la vitesse angulaire constante génère un champ d'accélération qui conditionne la pression.

La variation de la position angulaire dans le temps nous donne : ω = d θ dt = C u r {%omega} = {d {%theta} } over {dt} = { {C_u}} over { {r}}

Pour un intervalle de temps donné, on obtient une similitude du triangle des déplacements avec celui des vitesses.

Le long de la trajectoire circulaire, pour un intervalle de temps infinitésimal la distance parcourue peut s'exprimer : \(r d \theta = C_u dt\)

Simultanément, la variation des vitesses s'exprime sur la même variation angulaire : \(C_u d \theta = a dt\)

En éliminant \(d \theta\) de ces deux équations, on obtient :

a = C u 2 r = r ω 2 F = Vol ρ a dVol = r 1 r 2 ρ r ω 2 dr dA p = ρ r ω 2 dr = ρ r 2 ω 2 2 + Constante p 2 p 1 = ρ ( r 2 2 r 1 2 ) ω 2 2 = ρ 2 ( C u 2 2 C u 1 2 ) {a} = { {C_u} ^2} over { {r} } = {r} {%omega} ^2 newline {F} = int to{Vol} %rho { a } dVol= int from{r_1} to{r_2} %rho {r} {%omega} ^2 dr dA newline p = int %rho {r} {%omega} ^2 dr = {%rho {r} ^2 {%omega} ^2 } over {2} +Constante newline p_2-p_1 = {%rho ( {r_2} ^2 - {r_1} ^2) {%omega}^2} over {2} = %rho over {2} ( {C_u2} ^2- {C_u1} ^2)

FondamentalChamp de pression généré par un tourbillon libre

Dans un tourbillon libre, la circulation est constante et conditionne la pression.

Considérons deux points 1 et 2, dans un tourbillon libre.

r C u = Γ r r ω = Γ ω = Γ r 2 p = r 1 r 2 ρ r ω 2 dr p = ρ r ( Γ 2 r 4 ) dr = ρ Γ 2 2 r 2 + Constante p 2 p 1 = ρ Γ 2 2 r 1 2 ρ Γ 2 2 r 2 2 p 2 p 1 = ρ Γ 2 2 ( 1 r 1 2 1 r 2 2 ) = ρ 2 ( C u 1 2 C u 2 2 ) {r} {C_u} = {%GAMMA} newline {r} {r} {%omega} = %GAMMA rightarrow {{%omega}} = {{%GAMMA}} over { {r} ^2} newline p= int from{r_1} to{r_2} %rho { r} {%omega} ^2 dr newline p= int %rho {r} left ( { {%GAMMA} ^2} wideslash { { r} ^4} right) dr=-{ %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r} ^2} +Constante newline p_2 - p_1 = { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r_1} ^2} - { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r_2} ^2} newline p_2 - p_1 = { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2} left ( {1} over { {r_1} ^2} - {1} over { {r_2} ^2} right ) = {%rho} over {2} ( {C_u1} ^2- {C_u2} ^2 )

ComplémentPoussée axiale résultant du champ de pression généré par un tourbillon forcé ou un tourbillon libre

On observe que la variation de pression est directement liée à la vitesse tangentielle du fluide peu importe s'il s'agit d'un tourbillon libre ou forcé. Néanmoins, la vitesse tangentielle est très différente selon le tourbillon et donc la pression sera aussi très différente pour les deux types de tourbillon.

On peut intégrer cette pression sur la surface du disque considérée pour trouver une poussée axiale.

Pour le tourbillon forcé, la force axiale exercée sur le disque est :

F = pdA = r 1 r 2 0 2 π r ( ρ r 2 2 ω 2 + Constante ) dr d θ = r 1 r 2 ( ρ r 2 2 ω 2 2 π r + Constante 2 π r ) dr F = π ρ ω 2 1 4 ( r 2 4 r 1 4 ) + Constante π ( r 2 2 r 1 2 ) avec Constante = p i ρ r i 2 ω 2 2 {F} = int pdA = int from{r_1} to{r_2} int from{0} to{2 %pi r} ( %rho {r} ^2 over 2 {%omega} ^2+Constante) dr d %theta = int from {r_1} to {r_2} (%rho {r} ^2 over 2 {%omega} ^2 *2 %pi {r} +Constante*2 %pi {r} )dr newline {F} = %pi %rho {%omega} ^2 {1} over {4} ( {r_2} ^4 - {r_1} ^4)+Constante* %pi ( {r_2} ^2- {r_1}^2 ) newline avec Constante = p_i- {%rho {r_i} ^2 {%omega} ^2} over {2 }

Et pour le tourbillon libre on obtient :

F = p dA F = r 1 r 2 0 2 π r ( ρ Γ 2 2 r 2 + Constante ) dr d θ = r 1 r 2 ( ρ Γ 2 2 r 2 + Constante ) 2 π r dr F = π ρ Γ 2 ( ln r 1 ln r 2 ) + Constante π ( r 2 2 r 1 2 ) avec Constante = p i + ρ Γ 2 2 r i 2 {F} = int p dA newline F = int from{r_1} to{r_2} int from{0} to{2 %pi r} left ( {-%rho {%GAMMA } ^2} over { 2 {r} ^2} +Constante right) dr d %theta =int from{r_1} to{r_2} left ( {-%rho {%GAMMA} ^2} over { 2 {r} ^2} +Constante right)2 %pi {r} dr newline {F} = %pi %rho {%GAMMA} ^2 left ( ln {r_1} - ln {r_2} right )+Constante* %pi ( {r_2} ^2- {r_1} ^2 ) newline avec Constante = p_i+ { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r_i} ^2}

Un exemple avec outil de calcul est accessible ici.