L'hydrostatique et l'équilibre des forces dans un champ d'accélération

Fondamental

La pression hydrostatique pour un fluide incompressible :

p = ρ g z p= %rho {g} {z}

\(Pa = {kg/m^3}× {m/s^2}× m = N/m^2\)

Coupe d'un barrageInformations[1]

La différence de pression entre deux points peut aussi être vue comme une énergie massique potentielle :

E = p ρ = g z E={p} over { %rho } = {g} * {z}

\(J/kg = Pa / (kg/m^3) = m^2 /s^2\)

Dans la pratique, l'usage est de présenter le niveau d'énergie par la variable \(H\) en mce[2].

Ainsi :\( H = E/g\)

Le niveau d'eau est toujours une position relative, on l'exprime souvent par rapport au niveau de la mer. Il correspond donc à un niveau d'énergie. On utilise parfois l'expression mce pour le dimensionner, cela correspond à mètre de colonne d'eau, cet usage fait du niveau d'eau une expression d'un niveau d'énergie. Sur la coupe du barrage la différence entre le niveau amont et aval représente une énergie disponible, exprimé en mce cela correspond à la définition de la chute brute.

FondamentalEffort sur une surface verticale dû à la pression hydrostatique

Effort de pression sur une paroi verticaleInformations[3]

Il s'agit ici de calculer la force résultant de la pression hydrostatique sur la face verticale d'une paroi. D'abord, on exprime cette force comme étant l'intégrale de la pression sur cette surface puis on la représente constante sur toute la largeur (\(L_p\)) du barrage :

F = p dA F L p = 0 Z ρ g z dz F L p = ρ g Z 2 2 {F} = int p dA newline { {F} } over {L_p} = int from{0} to{Z} %rho {g} {z} dz newline { {F} } over {L_p} = {%rho {g} Z^2} over {2}

Maintenant pour le couple de renversement causé par la force résultant du champ de pression :

M = F Z c = p z dA F L p Z c = 0 Z ρ g z 2 dz F L p Z c = ρ g Z 3 3 {M} = {F} Z_c = int p {z} dA newline { {F} } over {L_p} Z_c = int from{0} to{Z} %rho {g} {z} ^2 dz newline { {F}} over {L_p} Z_c = {%rho {g} Z^3} over {3}

La position de la force qui cause ce moment est :

Z c = 2 3 Z Z_c= {2} over {3} Z

FondamentalChamp de pression généré par un tourbillon forcé

Dans une rotation solide, la vitesse angulaire constante génère un champ d'accélération qui conditionne la pression :

La variation de la position angulaire dans le temps nous donne : ω = d θ dt = C u r La variation de la vitesse par rapport à la position angulaire est une constante : d v d θ = C u a = d v d t = C u 2 r = r ω 2 F = Vol ρ a dVol = r 1 r 2 ρ r ω 2 dr dA p = ρ r ω 2 dr = ρ r 2 ω 2 2 + Constante p 2 p 1 = ρ ( r 2 2 r 1 2 ) ω 2 2 = ρ 2 ( C u 2 2 C u 1 2 ) "La variation de la position angulaire dans le temps nous donne : " {%omega} = {d {%theta} } over {dt} = { {C_u}} over { {r}} newline "La variation de la vitesse par rapport à la position angulaire est une constante : " {d {v} } over {d %theta }= {C_u} newline {a} = {d {v} } over {d t} = { {C_u} ^2} over { {r} } = {r} {%omega} ^2 newline {F} = int to{Vol} %rho { a } dVol= int from{r_1} to{r_2} %rho {r} {%omega} ^2 dr dA newline p = int %rho {r} {%omega} ^2 dr = {%rho {r} ^2 {%omega} ^2 } over {2} +Constante newline p_2-p_1 = {%rho ( {r_2} ^2 - {r_1} ^2) {%omega}^2} over {2} = %rho over {2} ( {C_u2} ^2- {C_u1} ^2)

Fondamental

Champ de pression généré par un tourbillon libre

Dans un tourbillon libre, la circulation est constante et conditionne la pression :

r C u = Γ r r ω = Γ ω = Γ r 2 p = r 1 r 2 ρ r ω 2 dr p = ρ r ( Γ 2 r 4 ) dr = ρ Γ 2 2 r 2 + Constante p 2 p 1 = ρ Γ 2 2 r 1 2 ρ Γ 2 2 r 2 2 p 2 p 1 = ρ Γ 2 2 ( 1 r 1 2 1 r 2 2 ) = ρ 2 ( C u 1 2 C u 2 2 ) {r} {C_u} = {%GAMMA} newline {r} {r} {%omega} = %GAMMA rightarrow {{%omega}} = {{%GAMMA}} over { {r} ^2} newline p= int from{r_1} to{r_2} %rho { r} {%omega} ^2 dr newline p= int %rho {r} left ( { {%GAMMA} ^2} wideslash { { r} ^4} right) dr=-{ %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r} ^2} +Constante newline p_2 - p_1 = { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r_1} ^2} - { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r_2} ^2} newline p_2 - p_1 = { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2} left ( {1} over { {r_1} ^2} - {1} over { {r_2} ^2} right ) = {%rho} over {2} ( {C_u1} ^2- {C_u2} ^2 )

ComplémentPoussée axiale résultant du champ de pression généré par un tourbillon forcé ou un tourbillon libre

On observe que la variation de pression est directement liée à la vitesse tangentielle du fluide peu importe s'il s'agit d'un tourbillon libre ou forcé. Néanmoins, la vitesse tangentielle est très différente selon le tourbillon et donc la pression sera aussi très différente pour les deux types de tourbillon.

On peut intégrer cette pression sur la surface du disque considérée pour trouver une poussée axiale.

Pour le tourbillon forcé, la force axiale exercée sur le disque est :

F = pdA = r 1 r 2 0 2 π r ( ρ r 2 2 ω 2 + Constante ) dr d θ = r 1 r 2 ( ρ r 2 2 ω 2 2 π r + Constante 2 π r ) dr F = π ρ ω 2 1 4 ( r 2 4 r 1 4 ) + Constante π ( r 2 2 r 1 2 ) avec Constante = p i ρ r i 2 ω 2 2 {F} = int pdA = int from{r_1} to{r_2} int from{0} to{2 %pi r} ( %rho {r} ^2 over 2 {%omega} ^2+Constante) dr d %theta = int from {r_1} to {r_2} (%rho {r} ^2 over 2 {%omega} ^2 *2 %pi {r} +Constante*2 %pi {r} )dr newline {F} = %pi %rho {%omega} ^2 {1} over {4} ( {r_2} ^4 - {r_1} ^4)+Constante* %pi ( {r_2} ^2- {r_1}^2 ) newline avec Constante = p_i- {%rho {r_i} ^2 {%omega} ^2} over {2 }

Et pour le tourbillon libre on obtient :

F = p dA F = r 1 r 2 0 2 π r ( ρ Γ 2 2 r 2 + Constante ) dr d θ = r 1 r 2 ( ρ Γ 2 2 r 2 + Constante ) 2 π r dr F = π ρ Γ 2 ( ln r 1 ln r 2 ) + Constante π ( r 2 2 r 1 2 ) avec Constante = p i + ρ Γ 2 2 r i 2 {F} = int p dA newline F = int from{r_1} to{r_2} int from{0} to{2 %pi r} left ( {-%rho {%GAMMA } ^2} over { 2 {r} ^2} +Constante right) dr d %theta =int from{r_1} to{r_2} left ( {-%rho {%GAMMA} ^2} over { 2 {r} ^2} +Constante right)2 %pi {r} dr newline {F} = %pi %rho {%GAMMA} ^2 left ( ln {r_1} - ln {r_2} right )+Constante* %pi ( {r_2} ^2- {r_1} ^2 ) newline avec Constante = p_i+ { %rho {%GAMMA} ^2 } over {2 {r_i} ^2}

Un exemple avec outil de calcul est accessible ici.