L'hydrostatique et l'équilibre des forces dans un champ d'accélération

La pression hydrostatique pour un fluide incompressible :

p = ρ g z p= %rho widevec {g} widevec {z}

Pa = kg/m³ m/s² m = N/m²

Coupe d'un barrageInformations[1]

La différence de pression entre deux points peut aussi être vue comme un niveau d'énergie massique :

E = p ρ = g z E={p} over { %rho } = widevec {g} * widevec {z}

J/kg = Pa / (kg/m³) = m² s²

FondamentalEffort sur une surface verticale dû à la pression hydrostatique

Effort de pression sur une paroi verticaleInformations[2]

Il s'agit ici de calculer la force résultant de la pression hydrostatique sur la face verticale d'une paroi :

F = p dA F L p = 0 Z ρ g z dz F L p = ρ g Z 2 2 widevec {F} = int p dA newline { widevec {F} } over {L_p} = int from{0} to{Z} %rho widevec {g} widevec {z} dz newline { widevec {F} } over {L_p} = {%rho widevec {g} Z^2} over {2}

Maintenant pour le moment causé par la force résultant du champ de pression :

M = F Z c = p z dA F L p Z c = 0 Z ρ g z 2 dz F L p Z c = ρ g Z 3 3 widevec {M} = widevec {F} Z_c = int p widevec {z} dA newline { widevec {F} } over {L_p} Z_c = int from{0} to{Z} %rho widevec {g} widevec {z} ^2 dz newline { widevec {F}} over {L_p} Z_c = {%rho widevec {g} Z^3} over {3}

La position de la force qui cause ce moment est :

Z c = 2 3 Z Z_c= {2} over {3} Z

FondamentalChamp de pression généré par un tourbillon forcé

Dans une rotation solide, la vitesse angulaire constante génère un champ d'accélération qui conditionne la pression :

La variation de la position angulaire dans le temps nous donne : ω = d θ dt = C u r La variation de la vitesse par rapport à la position angulaire est une constante : d v d θ = C u a = d v d t = C u 2 r = r ω 2 F = Vol ρ a dVol = r 1 r 2 ρ r ω 2 dr dA p = ρ r ω 2 dr = ρ r 2 ω 2 2 + Constante p 2 p 1 = ρ ( r 2 2 r 1 2 ) ω 2 2 = ρ 2 ( C u 2 2 C u 1 2 ) "La variation de la position angulaire dans le temps nous donne : " widevec {%omega} = {d widevec {%theta} } over {dt} = {widevec {C_u}} over {widevec {r}} newline "La variation de la vitesse par rapport à la position angulaire est une constante : " {d widevec {v} } over {d %theta }= widevec {C_u} newline widevec {a} = {d widevec {v} } over {d t} = { widevec {C_u} ^2} over { widevec {r} } = widevec {r} widevec {%omega} ^2 newline widevec {F} = int to{Vol} %rho widevec { a } dVol= int from{r_1} to{r_2} %rho widevec {r} widevec {%omega} ^2 dr dA newline p = int %rho widevec {r} widevec {%omega} ^2 dr = {%rho widevec {r} ^2 widevec {%omega} ^2 } over {2} +Constante newline p_2-p_1 = {%rho ( widevec {r_2} ^2 - widevec {r_1} ^2) widevec {%omega}^2} over {2} = %rho over {2} ( widevec {C_u2} ^2- widevec {C_u1} ^2)

Fondamental

Champ de pression généré par un tourbillon libre

Dans un tourbillon libre, la circulation est constante et conditionne la pression :

r C u = Γ r r ω = Γ ω = Γ r 2 p = r 1 r 2 ρ r ω 2 dr p = ρ r ( Γ 2 r 4 ) dr = ρ Γ 2 2 r 2 + Constante p 2 p 1 = ρ Γ 2 2 r 1 2 ρ Γ 2 2 r 2 2 p 2 p 1 = ρ Γ 2 2 ( 1 r 1 2 1 r 2 2 ) = ρ 2 ( C u 1 2 C u 2 2 ) widevec {r} widevec {C_u} = widevec {%GAMMA} newline widevec {r} widevec {r} widevec {%omega} = %GAMMA rightarrow widevec {{%omega}} = widevec {{%GAMMA}} over { widevec {r} ^2} newline p= int from{r_1} to{r_2} %rho widevec { r} widevec {%omega} ^2 dr newline p= int %rho widevec {r} left ( { widevec {%GAMMA} ^2} wideslash { widevec { r} ^4} right) dr=-{ %rho widevec {%GAMMA} ^2 } over {2 widevec {r} ^2} +Constante newline p_2 - p_1 = { %rho widevec {%GAMMA} ^2 } over {2 widevec {r_1} ^2} - { %rho widevec {%GAMMA} ^2 } over {2 widevec {r_2} ^2} newline p_2 - p_1 = { %rho widevec {%GAMMA} ^2 } over {2} left ( {1} over { widevec {r_1} ^2} - {1} over { widevec {r_2} ^2} right ) = {%rho} over {2} ( widevec {C_u1} ^2- widevec {C_u2} ^2 )

ComplémentPoussée axiale résultant du champ de pression généré par un tourbillon forcé ou un tourbillon libre

On observe que la variation de pression est directement liée à la vitesse tangentielle du fluide peu importe s'il s'agit d'un tourbillon libre ou forcé. Néanmoins, la vitesse tangentielle est très différente selon le tourbillon et donc la pression sera aussi très différente pour les deux types de tourbillon.

On peut intégrer cette pression sur la surface du disque considérée pour trouver une poussée axiale.

Pour le tourbillon forcé, la force axiale exercée sur le disque est :

F = pdA = r 1 r 2 0 2 π r ( ρ r 2 2 ω 2 + Constante ) dr d θ = r 1 r 2 ( ρ r 2 2 ω 2 2 π r + Constante 2 π r ) dr F = π ρ ω 2 1 4 ( r 2 4 r 1 4 ) + Constante π ( r 2 2 r 1 2 ) avec Constante = p i ρ r i 2 ω 2 2 widevec {F} = int pdA = int from{r_1} to{r_2} int from{0} to{2 %pi r} ( %rho widevec {r} ^2 over 2 widevec {%omega} ^2+Constante) dr d %theta = int from {r_1} to {r_2} (%rho widevec {r} ^2 over 2 widevec {%omega} ^2 *2 %pi widevec {r} +Constante*2 %pi widevec {r} )dr newline {F} = %pi %rho widevec {%omega} ^2 {1} over {4} ( widevec {r_2} ^4 - widevec {r_1} ^4)+Constante* %pi ( widevec {r_2} ^2- widevec {r_1}^2 ) newline avec Constante = p_i- {%rho widevec {r_i} ^2 widevec {%omega} ^2} over {2 }

Et pour le tourbillon libre on obtient :

F = p dA F = r 1 r 2 0 2 π r ( ρ Γ 2 2 r 2 + Constante ) dr d θ = r 1 r 2 ( ρ Γ 2 2 r 2 + Constante ) 2 π r dr F = π ρ Γ 2 ( ln r 1 ln r 2 ) + Constante π ( r 2 2 r 1 2 ) avec Constante = p i + ρ Γ 2 2 r i 2 widevec {F} = int p dA newline F = int from{r_1} to{r_2} int from{0} to{2 %pi r} left ( {-%rho widevec {%GAMMA } ^2} over { 2 widevec {r} ^2} +Constante right) dr d %theta =int from{r_1} to{r_2} left ( {-%rho widevec {%GAMMA} ^2} over { 2 widevec {r} ^2} +Constante right)2 %pi widevec {r} dr newline widevec {F} = %pi %rho widevec {%GAMMA} ^2 left ( ln widevec {r_1} - ln widevec {r_2} right )+Constante* %pi ( widevec {r_2} ^2- widevec {r_1} ^2 ) newline avec Constante = p_i+ { %rho widevec {%GAMMA} ^2 } over {2 widevec {r_i} ^2}

Un exemple avec outil de calcul est accessible ici.