Équation de la conservation de la quantité de mouvement ou équation de Newton(1687)

Fondamental

La statique nous apprend que les forces internes d'un solide ou d'un fluide sont en équilibre avec les forces externes. Dans le cas d'un solide ou d'un fluide en mouvement, la seconde loi de Newton nous permet de lier la variation de la quantité de mouvement aux forces externes.

La deuxième loi de Newton permet d'intégrer le mouvement du fluides dans l'équilibre des forces. Compte-tenu du fait que dans l'interaction fluide-structure nous nous intéressons à l'effort sur les parois solides, on met en application la troisième loi de Newton et la réaction \(F\) sur le solide s'exprime en fonction de la variation de la quantité de mouvement du fluide :

F = d ( m v ) dt = m a {F} = {-d(m {v} )} over {dt} =-m {a}

\(N = (kg m/s)/s = kg m/s^2\)

Le fluide par sa variation de quantité de mouvement exerce une force sur les parois.

Si on considère un fluide incompressible et en charge, la masse et la densité étant constantes, seule la vitesse peut faire varier la quantité de mouvement, par sa variation en direction et en grandeur.

Écoulement dans un coude et réactionInformations[1]

L'étude de l'écoulement dans un tuyau fixe montre que la courbure dans le tuyau génère des efforts.

F x = ρ Q ( v x 1 v x 2 ) {F_x} = %rho {Q} ( {v_x1} - {v_x2} )

C'est la courbure d'une ligne de courant ou filet fluide qui exerce une force d'inertie.

On observe que la force est dans le sens contraire de la variation vitesse. En généralisant :

F i = ρ Q Δ v i {F_i} = -%rho {Q} %DELTA v_i

FondamentalApplication de la loi de Newton à un moulinet

Le moulinet montré est alimenté en bas par un débit vertical et tourne à une vitesse constante. Le débit sort tangentiellement et horizontalement à une distance r de l'axe dans la direction opposée à la rotation.

MoulinetInformations[2]

Les équations décrivant ce phénomène sont :

L'équation de Newton : F i = ρ Q Δ v i {F_i} = -%rho {Q} %DELTA v_i

Permet de calculer le couple moteur agissant sur le moulinet : M = ρ Q C u × r {M} = -%rho {Q} C_u times r

Puisque qu'il s'agit d'un moteur en rotation la puissance s'exprime : P = M ω = ( ρ Q C u × r ) ω P = {M} {%omega} = -(%rho {Q} {C_u} times { r} )* {%omega}

On note que pour une puissance positive, le couple et la vitesse angulaire doivent être dans le même sens.

En réarrangeant les termes de cette équation on identifie \(\rho Q\) le débit massique tel que vu précédemment et le terme \(C_u r \omega\) est l'énergie massique exprimée en \(m^2/s^2\) ou de façon équivalente en \(J/kg\) .

L'énergie que développe le moulinet peut donc se calculer à partir des vitesses tangentielles fluide et solide ainsi ainsi :

E = C u r ω = C u U E= -{C_u} { r} {%omega} = - {C_u} {U}

Comme on l'a vu, la force résulte d'un changement de direction axiale, à l'entrée, vers une direction tangentielle, à la sortie. Cet effort crée un couple qui à cause de la vitesse angulaire donne une puissance. Cette puissance est en fait le produit d'un débit massique par une énergie massique .

On observe que l'expression de l'énergie massique est le produit de la vitesse tangentielle fluide par la vitesse tangentielle solide. Ces deux vitesses étant dans des sens opposés.

ExempleVitesse relative et vitesse absolue

Supposons un moulinet tel qu'illustré à droite avec :

  • une vitesse débitante (\(W_u\)) à la sortie du moulinet égale à \(-10 m/s\),

  • cette sortie se trouve à 1 m de l'axe de rotation, c'est le rayon (\(r\)) de la sortie,

  • une vitesse angulaire (\(\omega\)) de 10 rad/s.

La vitesse tangentielle du moulinet à la sortie se calcule : \(U = r \times \omega = 10 m/s\)

La vitesse débitante (\(W_u\)) est une vitesse relative au moulinet qui est en rotation telle que : \(C_u = U+W_u\) .

\(U\) et \(W_u\) étant égales mais de sens inverse, le \(C_u\) est nul et donc la puissance générée est nulle.

Pour avoir une puissance positive, il faut une ou une combinaison des possibilités suivantes :

  • Réduire la vitesse angulaire.

  • Réduire le rayon de sortie.

  • Diminuer la section de passage à la sortie pour augmenter la vitesse du fluide à la sortie.

  • Augmenter le débit.

On réalise qu'avec l'inverse de ces possibilités, on obtiendra une puissance négative, c'est-à-dire qu'il faudra un moteur pour faire tourner le moulinet.

Reprenons maintenant le calcul avec les mêmes données sauf :

  • une vitesse débitante (\(W_u\)) à la sortie du moulinet égale à \(-20 m/s\) et qui correspond à un débit de \(1 m³/s\).

La vitesse tangentielle du moulinet à la sortie reste à \(10 m/s\)

\(C_u = U+W_u\) et donc \(C_u=(10-20)m/s = -10 m/s\)

La force exercée sera de F i = ρ Q Δ v i {F_i} = -%rho {Q} %DELTA v_i \(=-1000*1*-10=10000 N\)

La puissance produite sera P = M ω = ( ρ Q C u × r ) ω P = {M} {%omega} = -(%rho {Q} {C_u} times { r} )* {%omega} \(=-(1000*1*-10*1)*10=100 000 W=100kW\)

Vitesses à la sortie du moulinetInformations[3]