La relation d'Euler

RappelLeonhard Euler 1707-1783

Leonhard Euler a présenté les équations qui décrivent le fonctionnement des machines hydrauliques à réaction.Informations[1]

FondamentalAnalyse d'une turbine élémentaire

C'est en généralisant l'énergie développée par un moulinet à tout type de condition d'entrée et de sortie qu'on obtient la relation d'Euler.

Pour la démonstration, considérons une turbine élémentaire constituée d'un tube à section variable dont l'entrée (indice 1) et la sortie (indice 2) sont tangentielles et parcourues par un débit de l'entrée vers la sortie. Le tube tourne autour d'un axe à une vitesse angulaire.

Une turbine élémentaireInformations[2]

Considérons ce qui se passe à l'entrée en terme de quantité de mouvement.

L'effort tangentiel qui en résulte est positif et dans le sens de rotation : \(F_1 = \rho Q C_{u1}\).

Le couple moteur est : \(M_1= r_1 \times F_1\) .

La puissance générée à l'entrée : \(P_1= \omega M_1\)

L'énergie à l'entrée s'exprime donc par : \(E_1 =U_1 C_{u1}\)

Pour la sortie :

\(F_2=-\rho Q C_{u2}\)

\(M_2 = r_2 \times F_2\)

\(P_2= \omega M_2\)

\(E_2 = -U_2 C_{u2}\)

La puissance résultant des vitesses à l'entrée et à la sortie sera  : P = ρ Q ( r 1 ω C u 1 r 2 ω C u 2 ) P = %rho {Q} ( {r_1 %omega C_{u1}} -{r_2 %omega C_{u2}} )

Il en résulte la relation d'Euler permettant d'obtenir l'énergie générée par la turbine élémentaire :

E i = g H i = U 1 C u 1 U 2 C u 2 E_i= {g} H_i= {U_1} {C_u1} - {U_2} {C_u2}

L'indice \(i\) qualifie cette énergie d'interne, parce qu'elle exprime la quantité d'énergie aux bornes de la roue par opposition aux bornes de la turbines.

La puissance mécanique qui en résulte est entièrement transmise à l'arbre.

P m = ρ Q E i P_m= %rho Q E_i

La relation d'Euler nous indique que la puissance produite par une turbine vient de la déviation du filet fluide la traversant. Le même raisonnement s'applique à la pompe lorsque la puissance est négative, c'est-à-dire que la puissance doit être fournie pour générer le débit et la chute.

Dans cette présentation, pour simplifier, on a utilisé des entrée et sortie tangentielles. Dans une turbine réelle, l'écoulement n'est pas parfaitement tangentiel et donc pour appliquer la relation d'Euler il faut connaître les angles de l'écoulement pour en extraire les vitesses tangentielles \(C_u\) . Donc, connaissant les angles fluides à l'entrée et à la sortie d'une roue, on connaît l'énergie captée. L'efficacité énergétique et les pertes sont donc contenues dans les angles du fluide. C'est donc une affaire de géométrie.

On rappelle que la puissance est le produit d'un débit massique par une énergie massique.

On observe qu'il n'y aucune simplification ou hypothèse dans cette expression qui est donc exacte et que les notions de viscosité et turbulence ne sont pas utiles ici.

La relation d'Euler est l'équation maîtresse qui fait le lien entre l'énergie disponible et la géométrie de l'écoulement puis finalement la géométrie de la turbine.

Le concepteur hydraulicien doit donc générer une géométrie de roue avec les angles pour produire l'énergie souhaitée.

DéfinitionL'énergie interne

L'énergie qui s'exprime ainsi aux bornes de la roue s'appelle l'énergie interne et peut se noter \(E_i\)[3] ou \(H_i\)[4] .

MéthodeApplication simplifiée au tracé d'une roue

Tracer l'aubage d'une turbine est le processus qui permet de relier les conditions hydrauliques et la performance souhaitée à la définition géométrique de l'aubage. Comme la relation d'Euler relie les conditions hydrauliques aux angles du fluide, il s'agit donc de créer une géométrie qui s'adapte à ces angles.

Les références Moulin[5] , Miller IV[6] , Rossgatterer[7] et plusieurs autres auteurs décrivent le développement que nous reprenons ici.

Ce développement s'appuie sur les concepts suivants :

  • La roue est constituée de plusieurs aubes, chacune possédant une surface intrados et une surface extrados. Un surface médiale virtuelle, ici appelée « âme », peut en être déduite.

Intrados, extrados et surface médiale : l'âme du profil.Informations[8]
  • Le fluide dans la roue de la turbine se déplace sur des surfaces de révolution qui intersectent le plan méridien pour former des courbes.

  • Le trajet de la particule fluide se déplaçant sur la surface de révolution, entre le bord d'attaque et le bord de fuite, trace une abscisse curviligne en trois dimensions qu'on peut nommer filet ou ligne de courant.

  • L'évolution des angles le long du trajet :

    • contribue, par la relation d'Euler, à la transformation de l'énergie hydraulique en énergie mécanique

    • et peut être représentée par une transformation conforme appelée transformation de Beltrami[9].

  • La projection cylindrique de ce trajet sur un plan méridien trace une abscisse curviligne en deux dimension.

Brève explication de la transformation conforme de Beltrami

Avant d'arriver au plan conforme u-v, on passe par le plan des longueurs m-n où :

Avec \(m\) la longueur curviligne dans le plan méridien qui s'exprime en fonction de \(s\) :

  • \(m=m(s) = \int_0^s \sqrt {\left({dr \over ds}\right)^2+\left({dz \over ds}\right)^2} ds\)

Et \(n\) la longueur curviligne dans le sens transverse qui s'exprime aussi en fonction de \(s\) :

  • \(n=r\theta=r(s)\theta(s)\)

Ce plan des longueurs, n'est pas pratique pour suivre l'évolution des angles du filet et donc de l'écoulement. On a donc besoin de faire appel à un changement de coordonnées.

En divisant les coordonnées \((m,r\theta)\) par \(r\) on obtient les nouvelles variables suivantes :

  • \(u = \int_0^s{{dm\over ds}\over r} ds = \int_0^m{1\over r} dm\)\(u(0)=0\) et

  • \(v(s)=\theta(s)\)

Ainsi, l'évolution de l'angle d'écoulement \(\alpha\) s'exprime :

\(\tan\alpha={rd\theta \over dm}={d\theta \over dm/r}={dv \over du}\)

Aube et roues modèles et prototypeInformations[12]

Approche unidimensionnel pour définir un tracé.

En première étape pour une approche simplifiée, on pose les conditions suivantes :

  • L'aubage est représenté par une seule ligne de courant.

  • L'étude s'intéresse d'abord au fonctionnement au point de rendement maximum.

  • La rotation fluide \(C_{u2}\) à la sortie de la roue est donc prévue nulle.

  • Sa géométrie 3D est complexe et se veut un assemblage de 2 plans orthogonaux correspondant respectivement au débit massique et à l'énergie massique

    • Plan méridien

    • Plan conforme

ExempleRecherche des angles moyens du fluide à l'entrée et à la sortie d'une roue Francis

Voici une analyse d'une turbine que l'on assimilera à une turbine élémentaire dont l'écoulement est modélisé par un filet fluide monodimensionnel.

Voici plan méridien représentant les principales caractéristiques de la roue.

Définition géométrique de l'aubage dans le plan méridienInformations[13]
Les données du problème au point optimalInformations[14]

On y trouve le diamètre de la roue à 2 m , la hauteur du distributeur à 0,7 m.

À cela s'ajoutent les conditions hydrauliques pour le point de meilleur rendement :

Les directrices alimentent la roue avec un angle fluide de 70 degrés, le débit est de 30 m³/s et la chute est de 63m et la vitesse de rotation est de 300 tpm.

La base de la conception du tracé se fait en 1D sur l'abscisse curviligne de la ligne de courant moyenne entre le point 1 situé en entrée et le point 2 à la sortie de la roue.

Représentation monodimensionnel de la turbine dans le plan méridienInformations[15]

Le calcul des angles se fait dans le plan de cascade u-v. On y représente l'aubage intersecté par la surface de révolution généré par le filet moyen. La coordonnée \(v\) représente la position angulaire \(\theta\) et \(u\) une représentation étirée en \(r^{-1}\) de la longueur du profil dans le plan méridien. La périodicité cylindrique que l'on retrouve dans le domaine 3D est représenté par une périodicité linéaire dont le pas dépend du nombre d'aube. Ainsi pour 13 aubes le pas est de 360/13 degrés.

Cascade du filet moyen dans le plan u-vInformations[16]

À l'entrée de la roue :

Du rayon \(R_1\) et de la vitesse angulaire on obtient la vitesse du solide \(U_1\) et la vitesse radiale moyenne à l'entrée \(C_{r1}\) basée sur le débit traversant la section l'anneau de hauteur \(b\) et de rayon \(R_1\).

\(C_{u1}\) et \(C_{r1}\) résulte du triangle de vitesse imposé par l'angle fluide \(\gamma_1\) résultant de l'effet des directrices.

\(W_{u1}\) est la vitesse tangentielle du fluide vue par l'aubage, c'est la vitesse tangentielle relative qui s'obtient en soustrayant \(U_1\) de \(C_{u1}\) .

L’arc-tangente de \(W_{u1}/C_{r1}\) donne l'angle \(\alpha_1\) qui est l'angle du fluide tel que vue par la roue lorsqu'elle tourne à 300 tpm.

Le bord d'attaque de l'aubage sera conçu à cet angle pour limiter les pertes par chocs à l'entrée de la roue.

Conditions d'entrée de la cascadeInformations[17]
U 1 = R 1 ω C m 1 = C r 1 = Q / ( 2 π R 1 b d ) C u 1 = C r 1 tan ( γ 1 ) W u 1 = C u 1 U 1 α 1 = atan ( W u 1 / C r 1 ) U_1= R_1 %omega newline C_m1 = C_r1=Q/( 2 %pi R_1 b_d ) newline C_u1=C_r1 tan( %gamma_1 ) newline W_u1 = C_u1 - U_1 newline %alpha_1=atan( W_u1/C_r1 )

À la sortie de la roue :

Puisqu'à la sortie de la roue, l'écoulement est axial, on choisit le rayon \(R_2\) comme représentant la position centrale du filet fluide .

En première approximation, on peut estimer que la vitesse \(C_{u2}\) à la sortie de la roue est nulle puisque c'est l'objectif du concepteur pour réduire les pertes dans l'aspirateur.

La vitesse axiale à la sortie \(C_{z2}\) doit permettre de satisfaire l'équation de continuité et se calcul en multipliant le débit par la section de sortie de la roue au diamètre \(D\) de 2m.

Puisque \(C_{u2}\) est nulle, La vitesse tangentielle relative du fluide doit annuler la vitesse du solide.

L'arc-tangente de \(W_{u2}/C_{r2}\) donne l'angle \(\alpha_2\) qui est l'angle du fluide qui doit être produit par l'aubage.

Conditions à la sortie de la cascadeInformations[18]
U 2 = R 2 ω C m 2 = C z 2 = Q / ( π D 2 / 4 ) W u 2 = C u 2 U 2 α 2 = atan ( W u 2 / C z 2 ) U_2= R_2 %omega newline C_m2 = C_z2=Q/(%pi D^2/4 ) newline W_u2 = C_u2 - U_2 newline %alpha_2=atan( W_u2/C_z2 )

ConseilLa forte sensibilité aux angles de l'écoulement

Dans le fichier joint, on peut observer la très grande sensibilité de la performance à l'angle fluide à l'entrée \(\gamma_1\). Quelques dixièmes de degrés causent des variations en 1% du rendement.

La prédiction de l'angle fluide \(\gamma_1\) est délicate et on s'aperçoit qu'il y a des valeurs qu'on peut imposer dans la feuille de calcul qui donnent des résultats qui ne sont pas physiques.

La CFD peut être utilisée avec précaution pour prédire ces angles et raffiner la conception de l'aubage avant la validation finale sur modèle réduit.

Avec le tracé résultant on obtient une variation des angles d'écoulement entre l'entrée et la sortie de 40 degrés. La longueur de l'abscisse curviligne entre 1 et 2 n'est pas déterminée. En fait, il faudra considérer d'une part dans quelle longueur limite la courbure du fluide peut s'obtenir sans séparation de l'aubage et d'autre part si le champ de pression absolu est suffisamment étalé pour éviter la cavitation.

FondamentalGénéralisation du couple sur une cascade dans un repère cylindrique

Pour une cascade en rotation, puisque \(P = M \omega\), de la relation d'Euler :

\(P =\rho Q (r_1 \omega C_{u1} - r_2 \omega C_{u2})\), on peut écrire :

\(M=\rho Q (r_1 C_{u1} - r_2 C_{u2})\)

Également, pour une cascade fixe, à partir de l'équation de Newton adaptée au repère cylindrique : \(F=\rho Q(C_{u1} - C_{u2})\), on peut écrire :

\(M=\rho Q (r_1 C_{u1} - r_2 C_{u2})\)

On observe donc qu'on obtient la même équation que la cascade tourne ou pas.

De plus, à partir de l'exemple traité précédemment, pour appliquer les équations à tout point dans la cascade, si on exprime la vitesse méridienne comme étant \(C_m=Q/A\), où \(A\) est la section de passage au point d'intérêt, alors \(C_{r1}=C_{m1}\) et \(C_{z2}=C_{m2}\).

On peut maintenant exprimer :

\(C_u=C_m \tan \gamma\)

et \(W_u =C_m \tan \alpha\)

Comme \(W_u = C_u - U\) alors \(C_u=C_m \tan \alpha + U\)

Pour deux points 1 et 2 situés à r_1 et r_2 dans une cascade en rotation, le couple généré par l'aubage entre ces deux points s'exprime :

\(M=\rho Q (r_1 (C_{m1}\tan \alpha_1+U_1)- r_2 (C_{m2}\tan \alpha_2+U_2))\)

Si la cascade est fixe les U deviennent nuls ainsi :

\(M=\rho Q (r_1 C_{m1}\tan \alpha_1- r_2 C_{m2}\tan \alpha_2)\)

Ces deux équations démontrent bien comment la variation de l'angle de l'écoulement génère le couple.

Triangle de vitesse sur un point de la cascade en rotationInformations[19]