L'équation de Bernoulli - conservation de l'énergie

Daniel Bernoulli 1738

Conservation de l'énergie avec BernoulliInformations[1]

Pour étudier l'écoulement d'un fluide incompressible et idéal dans un conduit quelconque, considérons un débit permanent qui nous donne un volume et donc une masse s'y déplaçant pendant le temps Δt :

  • Dans la zone 1 à section constante \(A_1\), pour le débit \(Q\) on obtient la vitesse \(v_1=Q/A_1\) et le fluide parcourt la distance \(s_1\).

  • Dans la zone 2 par conservation du débit Q on obtient la vitesse \(v_2=Q/A_2\) et le fluide parcourt la distance \(s_2\).

Pour les zones 1 et 2, la conservation de l'énergie nous indique que les sommes du travail massique (\(W\)) et des énergies massiques cinétique (\(E_c\)) et potentielle (\(E_p\)) sont égales et donc constantes.

Ce qui s'exprime par :

W 1 + E p 1 + E c 1 = W 2 + E p 2 + E c 2 E pi = g z i m E ci = m v i 2 2 E ci = v i 2 2 m W i = p i A i s i = p i A i v i Δ t ρ Q Δ t W i = p i Q Δ t W i = p i ρ En assemblant : p 1 ρ + g z 1 + v 1 2 2 = p 2 ρ + g z 2 + v 2 2 2 p i ρ + g z i + v i 2 2 = Constante W_1+ E_p1+E_c1 =W_2+ E_p2+E_c2 newline où newline E_pi = g z_i newline m E_ci= m { v_i^2} over {2} rightarrow E_ci= { v_i^2} over {2} newline m W_i=p_i A_i s_i = p_i A_i v_i %DELTA t newline %rho Q %DELTA t W_i =p_i Q %DELTA t newline W_i = {p_i} over { %rho } newline En assemblant: newline {p_1} over { %rho } + g z_1 + { v_1^2} over {2}={p_2} over { %rho } + g z_2 + { v_2^2} over {2} newline {p_i} over { %rho } + g z_i + { v_i^2} over {2}=Constante

En mécanique des fluides, le principe de Bernoulli statue que dans le flux d'un fluide où l'énergie se conserve, une accélération se produit simultanément avec la diminution de la pression.

DéfinitionQuelques définitions découlant de l'équation de Bernoulli

On appelle énergie totale \(E_t\) , l'énergie calculée par Bernoulli à une section i d'un conduit.

\(E_{t_i} = {p_i \over \rho} + g z_i + {{v_i}^2 \over 2 }\)

On appelle perte de charge \(g h_f\) ,la différence d'énergie totale entre deux sections d'un conduit.

\(g h_f = E_{t_1} - E_{t_2}\)

ExempleIntroduction à l'étude d'un aspirateur

Les fonctions de l'aspirateur sont :

  • Retourner l'eau à la rivière

  • Diminuer l'énergie cinétique à la sortie

Étude de la perte aspirateurInformations[2]

Considérons un aspirateur fonctionnant au sommet de rendement. L'entrée est en 1 et la sortie en 2. Le point 3 est situé à la surface du niveau aval.

Au point 1, situé sous la roue présente une énergie totale qui s'exprime par l'équation de Bernoulli :

\(E_{t_1} = {p_1 \over \rho} + g z_1 + {{v_1}^2 \over 2 }\)

En 3, la pression statique est la pression atmosphérique, l'énergie potentiel est ρ g z3 et l'énergie cinétique est nulle :

\(E_{t_3} = {p_{atm} \over \rho} + g z_3\)

Le point 2 se situe sur une discontinuité entre le segment 1-2 et le segment 2-3, appelons-le segment 2-2'. En fait, dans le segment 2-2', l'écoulement subit une expansion brusque de la section 2 vers une section infini en 3. Il ne s'agit plus d'un écoulement divergent et l'énergie cinétique en 2 est totalement perdue, c'est une perte singulière.

\(g h_{f_2} = E_{t_{2}}-E_{t_{2'}} = {{v_2}^2 \over 2}\)

Sachant que l'énergie totale en 2' est égale à l'énergie totale en 3 :

\(E_{t_{2'}} = E_{t_3}\)

Donc, en tenant compte de la perte singulière en 2-2' on peut écrire :

\(E_{t_1} = E_{t_2}=E_{t_3}+{{v_2}^2 \over 2}\)

On observe que l'énergie cinétique en 2 augmente l'énergie totale en 1 peu importe l'énergie en 3. Il s'agit donc d'une perte qui diminuera l'énergie disponible à la roue et qui ne sera, bien évidemment, pas transmise à l'arbre.

Il y aura donc avantage à diminuer l'énergie cinétique à la sortie de l'aspirateur en maximisant la section à cet endroit.

Approche de la réalité : un exemple d'un calcul CFD dans l'aspirateur

Bernoulli est l'équation de l'énergie et dans le développement précédent nous avons considéré que la perte charge était nulle (pertes par friction paroi et fluide). Le calcul CFD nous permet de nous approcher de la réalité. Une des caractéristique du calcul CFD est qu'il se fait sans effet de gravité, on observe aucune interaction entre l'énergie potentielle et le comportement de l'aspirateur.

Sur le graphique, on considère un aspirateur dont la longueur varie le long de l'abscisse curviligne. Donc pour chaque point le long de l'abscisse on calcul les pressions et énergie cinétique à chaque point comme s'il s'agissait de la sortie de l'aspirateur.

Donc, s'il n'y avait pas d'aspirateur pour le calcul montré, l'énergie à la sortie de la turbine serait de 5,41% et cet énergie serait perdue.

Au fur et à mesure qu'on allonge l'aspirateur, l'énergie cinétique décroît alors que la perte de charge croit. Il en résulte globalement une réduction de l'énergie. De sorte, qu'à la sortie, l'énergie est réduite à 1,21%.

On peut aussi extrapoler qu'en allongeant l'aspirateur, on obtiendra une plus grande énergie à la roue.

Il est remarquable d'observer que l'aspirateur montré, au point de rendement sommet, contribue pour 4,2% d'augmentation de rendement.

Plus généralement, une turbine fonctionne au point optimal avec une vitesse axiale à la sortie de la roue d'environ 10 m/s ce qui correspond a une énergie cinétique d'environ 5 mce[3] et ceci peut importe la chute à exploiter. Donc, sous les basses chutes la contribution de l'aspirateur peut être très importante, par exemple 20% de rendement pour une chute de 25 m.

Évolution typique des énergies dans un aspirateurInformations[4]