Effet de la compressibilité de l'eau - Cas 2, le coup de bélier acoustique

En régime transitoire, la variation de la pression s'accompagne de la variation du volume du cylindre d'eau due à la compressibilité de l'eau et à l'élasticité de la conduite.

Cette élasticité permet de réduite la surpression par rapport au coup de bélier de masse.

Les conduites forcées d'Itaipu entre le Brésil et le ParaguayInformations[1]

FondamentalLa coupure instantanée de débit - Étude qualitative

Étudions le phénomène de la réverbération des ondes parcourant la conduite forcée en assumant une longueur L pour la conduite et une célérité c pour les ondes.

Un régime permanent avec une vitesse de l'écoulement V0 est établie dans la conduite à l'amont de l'organe de coupure.

À 𝑡=0, la vitesse près de la coupure devient subitement nulle et une onde de surpression se propage à la vitesse du son 𝑐 vers l'amont.

Ensuite, à l'aval de l'onde de surpression, l'énergie cinétique est transformée en énergie potentielle sous 2 formes qui agissent comme un ressort relié à la masse de l'eau:

  • Le volume d'eau est comprimé élastiquement.

  • La conduite est allongée sous la charge de surpression.

Selon Vasques[2] page 68 :

« Les ondes élastiques se propagent sans modification dans un milieu isotrope infini, mais sont susceptibles de réflexion et de réfraction quand elles rencontrent une surface séparant deux milieux différents. Deux cas sont à envisager : »

« • Quand une onde plane se propageant dans un fluide, rencontre normalement une surface rigide, elle se réfléchit sans changer de signe : ainsi une onde de compression se réfléchit en une onde de compression. »

« • Quand une onde plane se propageant dans un fluide, rencontre normalement une surface ou la pression reste constante (surface libre d'un liquide), il y a réflexion avec changement de signe : ainsi une onde de compression donne naissance à une onde de dépression. »

Donc,

  1. À t=0,

    • L'organe de coupure se ferme instantanément et une onde une se dirige vers l'amont à la vitesse c.

  2. À t=L/c,

    • L'onde atteint le réservoir amont.

    • Se réfléchit et change de signe.

    • L'onde de dépression se dirige vers la turbine.

    • Simultanément, la vitesse de l'eau dans la partie décomprimée se dirige vers le réservoir amont.

  3. À t=2L/c,

    • La dépression atteint l'organe de coupure.

    • Se réfléchit sans changer de signe.

    • L'onde de dépression se dirige vers le réservoir amont.

  4. À t=3L/c,

    • l'onde atteint le réservoir amont.

    • Se réfléchit et change de signe.

    • L'onde de pression se dirige vers la turbine.

  5. À t=4L/c,

    • La dépression atteint la turbine.

    • Se réfléchit sans changer de signe.

    • L'on de dépression se dirige vers le réservoir amont.

  6. À t= 4L/c + L/c

    • l'onde atteint le réservoir amont.

    • Se réfléchit et change de signe.

    • L'onde de dépression se dirige vers la turbine.

Et ça continue ...

Réverbération de l'onde acoustique lors d'une coupure instantanéeInformations[3]

FondamentalLa coupure instantanée de débit - Étude quantitative

Analysons à l'instant 𝑡 la transformation de la quantité de mouvement en onde de pression lors d'une coupure instantanée de débit:

  • La distance x parcourue par l'onde pendant le temps t est la vitesse du son dans la conduite remplie d'eau.

  • La quantité de mouvement se transforme en onde de pression, on peut donc exprimer l'équilibre des forces dynamique et statique ainsi :

Le coup de bélier acoustiqueInformations[4]
m d V d t = Δ p A = ρ g Δ H A m {d V} over {d t} = - %DELTA p A=- %rho g %DELTA H A newline

avec pour un intervalle de temps donné la masse de l'eau au repos est exprimée par :

m = ρ A x = ρ A c t m=%rho A x= %rho A c t newline

et comme pour ce même intervale la vitesse passe de la vitesse initiale à une vitesse nulle :

d V d t = V 0 t {d V} over {d t} = {-V_0} over {t} newline

d'où on peut calculer la variation de la charge pour cette fermeture instantanée où \(\Delta V=-V_0\) :

\(\Delta H = - \frac{c}{g} \Delta V\)

C'est l'équation de Joukowski. Elle permet lors d'une coupure instantanée de calculer une surpression à partir de la vitesse de l'écoulement existant dans la conduite au moment du déclenchement de la coupure.

ComplémentLa vitesse de l'onde dans la conduite

La célérité de l'onde dans la conduite dépend des élasticités axiales du tuyau et de l'eau qui ci-trouve.

Considérons, le cas assez courant, d'une conduite en acier dans l'air.

En terme d'énergie on peut écrire que l'énergie cinétique se transforme en énergie élastique, ce qui s'exprime au temps t :

1 2 m V 0 2 = 1 2 ρ A Section x V 0 2 = W e + W t {1} over {2} m V_0^2= {1} over {2} %rho A_Section x V_0^2 =W_e+W_t newline

L'énergie élastique étant la somme du travail élastique de l'eau et du tuyau.

Pour l'eau, son énergie élastique s'exprime dans l'axe axial comme :

W e = 0 x F dx = F 2 x 2 E e A Section W_e= int from{0} to{x} F dx= {F^2 x } over {2 E_e A_Section}

Où :

F = ρ g Δ H A Section F= %rho g %DELTA H A_Section newline

Et :

A Section = ( π D t 2 4 ) A_Section= left ( %pi {D_t^2} over {4} right ) newline

Et donc :

W e = ( ρ g Δ H ) 2 π D t 2 x 8 E e W_e = { ( %rho g %DELTA H)^2 %pi D_t^2 x} over {8 E_e} newline

\(E_e\) est le module d'élasticité de l'eau.

Puis, pour le tuyau, son énergie élastique axiale s'exprime comme :

W t = 0 x F dx = F 2 x 2 E tuyau A Paroi W_t=int from{0} to{x} F dx= {F^2 x } over {2 E_tuyau A_Paroi}

Où :

F = ρ g Δ H A Section = ρ g Δ H ( π D t 2 4 ) F=%rho g %DELTA H A_Section =%rho g %DELTA H left ( %pi {D_t^2} over {4} right )

Et :

A Paroi = ( π D t e Paroi ) A_Paroi = (%pi D_t e_Paroi)

Donc :

W t = F 2 x 2 E t ( π D t e Paroi ) = ( ρ g Δ H ( π D t 2 4 ) ) 2 x 2 E t ( π D t e Paroi ) = ( ρ g Δ H ) 2 ( π D t 3 ) x 8 E t e Paroi W_t={F^2 x } over {2 E_t (%pi D_t e_Paroi)}= {left (%rho g %DELTA H left ( %pi {D_t^2} over {4} right )right )^2 x} over {2 E_t (%pi D_t e_Paroi)} = {(%rho g %DELTA H )^2 (%pi D_t^3 ) x} over {8 E_t e_Paroi}

L'énergie cinétique et l'énergie élastique étant égales :

1 2 ρ ( π D t 2 4 ) x V 0 2 = W e + W t = ( ρ g Δ H ) 2 π D t 2 x 8 E e + ( ρ g Δ H ) 2 ( π D t 3 ) x 8 E t e Paroi {1} over {2} %rho left ( %pi {D_t^2} over {4} right ) x V_0^2 =W_e+W_t = { ( %rho g %DELTA H)^2 %pi D_t^2 x} over {8 E_e}+{(%rho g %DELTA H )^2 (%pi D_t^3 ) x} over {8 E_t e_Paroi}
V 0 2 = 2 ρ ( π D t 2 4 ) ( π D t 2 4 ) ( ρ g Δ H ) 2 ( 1 2 E e + D t 2 e Paroi E t ) V_0^2= {2} over { %rho left ( %pi {D_t^2} over {4} right ) } left ( %pi {D_t^2} over {4} right )( %rho g %DELTA H)^2 left ( {1} over {2 E_e} + {D_t} over {2 e_Paroi E_t} right )
Δ H = V 0 g ρ ( 1 E e + D t e Paroi E t ) = c g V 0 %DELTA H = {V_0} over {g sqrt{ %rho left ( {1} over {E_e} + {D_t} over {e_Paroi E_t} right ) } } = {c} over {g} V_0

Et donc :

c = 1 ρ ( 1 E e + D t e Paroi E tuyau ) c= {1} over {sqrt{ %rho left ( {1} over {E_e} + {D_t} over {e_Paroi E_tuyau} right ) }}

ExempleCalcul d'une surpression lors d'une coupure instantanée

Soit une turbine produisant 330MW sous 116 m de chute avec 92% de rendement à ce point et une conduite forcée de 8 m dia. et 150 m de long dont l'acier a 4 cm d'épaisseur.

À cause d'un bris les directrices se ferment instantanément ...

Q = P ρ g H η = 330000000 1000 9,81 116 0,92 = 315 m 3 / s V = Q A = 315 π 4 2 = 6,27 m / s c = 1 ρ ( 1 E e + D t e Paroi E t ) = 1 1000 ( 1 2,2 10 9 + 8 0,04 210 10 9 ) = 843 m / s Δ H = c g V 0 = 843 9,81 6,27 = 539 mce H max = H 0 + Δ H = 116 + 539 = 655 mce Q = {P} over { %rho g H %eta } = {330000000} over {1000*9,81*116*0,92} = 315 m^3/s newline newline V= {Q} over {A} = {315} over { %pi *4^2} = 6,27 m/s newline newline c= {1} over {sqrt{ %rho left ( {1} over {E_e} + {D_t} over {e_Paroi E_t} right ) }} = {1} over {sqrt{ 1000 left ( {1} over {2,2*10^9} + {8} over {0,04 * 210*10^9} right ) }}=843 m/s newline newline %DELTA H = {c} over {g} V_0={843} over {9,81} 6,27 = 539 mce newline newline H_max=H_0 + %DELTA H= 116 + 539 = 655 mce newline

FondamentalFermeture non-instantanée en tenant compte du coup de bélier acoustique

Si on coupe le débit linéairement en T secondes.

  • Si T>2𝐿/𝑐, le phénomène se distribue dans le temps sur le nombre de période 2𝐿/𝑐 contenue dans T.

La valeur maximale de la surpression est alors donnée par la formule du pic de Michaud:

Nombre de périodes = T 2 L c Δ H max = c g V 0 Nombre de périodes = 2 L T V 0 g Nombre de périodes = {{T} } wideslash {{2 {L} over {c} }} newline %DELTA H_max = {{c} over {g} V_0} over {Nombre de périodes} = { 2L} over {T} {V_0} over {g}
  • Si 𝑇<2𝐿/𝑐, il ne se produit pas de réduction de la surpression par interférence d'ondes et la valeur maximale à considérer est:

Δ H max = c g V 0 %DELTA H_max = {c} over {g} V_0

ExempleCalcul d'une surpression pour une coupure de débit linéaire

Soit une turbine produisant 330MW sous 116 m de chute avec 92% de rendement à ce point et une conduite forcée de 8 m dia. et 150 m de long .

Le temps de manœuvre pour la fermeture est de 12 secondes.

Q = P ρ g H η = 330000000 1000 9,81 116 0,92 = 315 m 3 / s V = Q A = 315 π 4 2 = 6,27 m / s Calcul du pic de Michaud : Δ H max = 2 L T V 0 g = 2 150 12 6,27 9,81 = 16 mce Δ H = H 0 + Δ H max = 116 + 16 = 132 mce Q = {P} over { %rho g H %eta } = {330000000} over {1000*9,81*116*0,92} = 315 m^3/s newline newline V= {Q} over {A} = {315} over { %pi *4^2} = 6,27 m/s newline newline "Calcul du pic de Michaud :" newline %DELTA H_max = { 2L} over {T} {V_0} over {g} = { 2*150} over {12} {6,27} over {9,81} =16 mce newline newline %DELTA H = H_0+%DELTA H_max= 116 + 16= 132 mce newline