Détermination de la vitesse spécifique et de la vitesse angulaire
Deux critères reliant la vitesse spécifique et la cavitation
C'est au point nominal sous l'énergie massique \(E\) qu'a été déterminé le rayon à la sortie de la roue (\(D\)) en se basant sur des critères de cavitation.
On sait que le sigma critique y est de :
\(\sigma_c = \frac{\varphi^2}{\psi}\)
Considérant pour ce point de fonctionnement que les chiffres de similitude sont calculés au rayon à la sortie de la roue pour les vitesses qu'on y trouve :
\(\varphi=\frac{Cm}{U}\) et \(\psi=\frac{2E}{U^2}\).
Pour rappel \(Cm=\frac{Q_{nom}}{\pi*R^2}\) et \(U=R \omega\).
On peut donc écrire pour le sigma critique au point nominal :
\(\sigma_c =\frac{Cm^2}{2E}\)
Et pour la vitesse spécifique :
\(\nu=\frac{\varphi^{0,5}}{\psi^{0,75}}=\frac{UCm^{0,5}} {(2E)^{0,75}}\)
L'approche monodimensionnelle permet de représenter la roue par un seul filet fluide pour caractériser le comportement moyen de l'écoulement de l'amont (\(1\)) à l'aval (\(2\)) de la roue. Ce filet fluide est représenté en violet.
En appliquant la transformation conforme de Beltrami décrite ici, on « aplatit » la surface révolution sur lequel il est appuyé pour l'obtenir en deux dimensions soit dans le plan de la cascade (\(u-v\)). On peut ainsi représenter les triangles des vitesses en 1 et 2 et les calculer en fonction des dimensions fondamentale des la turbine.
L'objectif de conception
On pose l'objectif de conception au sommet de rendement. On y définit le débit \(Q_{opt} \)et la chute \(H_{Iopt}\).
Le triangle des vitesses à la sortie
En posant l'objectif de conception au sommet de rendement, on vise une vitesse d'écoulement \(C_2\) parfaitement axiale à la sortie de la roue.
On a ainsi : la vitesse tangentielle du fluide à la sortie \(Cu_2=0\) et l'angle de l'écoulement dans le repère absolu \(\gamma_2=0\). La vitesse absolue \(C_2\) y est donc la vitesse débitante \(Cm_2\).
Ce faisant, on lie la vitesse de rotation à l'angle de l'écoulement dans le repère relatif (\(\alpha_2\)) et le triangle est ainsi entièrement connu.
La position du point de rendement optimal indicé \(opt\) est un choix du concepteur qui définit le critère suivant :
\(X_Q = \frac{Q_{opt}}{Q_{nom}}\)
Pour le filet fluide de la turbine élémentaire au point optimum :
\(\tan(\alpha_2)=\frac{-U_2}{Cm_2}\) le point 2 étant situé à \(R_2=R*\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Fondamental : La relation avec la cavitation
En se rappelant que l'indice numéroté s'applique au point optimal.
On peut donc en déduire que : \(U_2=U\frac{\sqrt{2}}{2}\)
De plus : \(Cm_2=Cm*X_Q\)
Donc \(U=-\tan(\alpha_2) \sqrt2\ Cm X_Q\)
La vitesse spécifique au point nominal peut s'exprimer en fonction de l'angle \(\alpha_2\) au point optimum :
\(\nu=\frac{UCm^{0,5}} {(2E)^{0,75}}=\frac{-\tan(\alpha_2) \sqrt2\ Cm X_Q \ Cm^{0,5}} {(2E)^{0,75}}\)
Comme \(Cm=\sqrt{ \sigma_c 2E}\) on insère ce lien avec la cavitation :
\(\nu=-\sqrt2\tan(\alpha_2)\ X_Q {\ \sigma_c}^{0,75}\) et
Cette dernière équation relie la vitesse spécifique au sigma critique par deux critères de conception : \(X_Q\) et \(\alpha_2\). Il en résulte donc des droites dans le graphique log-log \(\nu=f(\sigma_c, X_Q, \alpha_2)\). On observe ici que la vitesse de rotation ne fait pas partie du calcul de la vitesse spécifique.
Sur le graphique suivant, on aperçoit en trame de fond la relation \(\sigma_c=\nu^4\psi^2\) pour \(\psi\) variant de \(0,15\) à \(6,0\). En avant plan, la relation \(\sigma_c=\left(\frac{\nu}{-\sqrt2 \tan(\alpha_2) X_Q}\right)^{4/3}\) y est présentée avec ce qui serait les plages raisonnables pour les turbines Francis de \(X_Q=0,8\) avec un \(\alpha_2=-64\) degrés à \(X_Q=0,9\) avec un \(\alpha_2=-74\) degrés.
Fondamental : Le calcul de la vitesse de rotation
Les critères de conception \(X_Q\) et \(\alpha_2\) définis par le concepteur sont donc combinés pour définir la vitesse spécifique.
Puisque \(U_2= \frac{Cm_2}{-tan(\alpha_2)}\) on peut en déduire la vitesse angulaire :
\(\omega=\frac{U_2}{R_2}\)rad/s.
Remarque : Comparaison avec les données statistiques
Les statistiques reflètent les pratiques du passé. S'y fier ne pourra conduire à une turbine compétitive. Néanmoins, on peut en observer certaines tendances.
Avellan[4] a rassemblé des statistiques variées qu'on peut superposer au graphique précédent.
Ce qu'on observe c'est qu'il s'agit de données au sigma d'implantation, il y a donc un facteur \(\kappa\) qui les sépare du sigma critique.
Cette translation n'affecte pas la pente que présente la majorité de ces données. Ce qui laisserait supposer qu'avec la croissance de la vitesse spécifique, l'angle \(\alpha_2\) diminue en amplitude.
Remarque : Les critères \(X_Q\) et \(\alpha_2\)
\(X_Q\) est défini par l'objectif de conception, il localise le sommet de rendement par rapport à la pleine charge.
\(\alpha_2\) est l'angle de l'aubage. Plus il est ouvert, plus il s'approche de zéro, plus le débit est important. Une étude de sensibilité de cette variable montrera une influence sur les dimensions géométriques de l'entrée de la roue.