Calcul simplifié d'un transitoire de turbine avec un tableur
Le calcul d'un transitoire
Plusieurs situations peuvent motiver le recours au calcul des transitoires pour une installation comportant une turbine hydraulique. Il peut s'agir d'une étape de la conception d'un ouvrage hydraulique, de l'étude d'un phénomène observé qui suscite des inquiétudes, de la modification d'une installation ou de ses paramètres de fonctionnement. Le calcul des transitoires permet d'obtenir la dynamique des variations de pressions partout dans le système au cours d'une manœuvre et son effet sur la machine hydraulique, en particulier, sa variation de la vitesse de rotation et la surpression associée. Ces résultats sont intrinsèquement liés à la sécurité de l'installation et du personnel. Ces calculs sont donc très importants et doivent être abordés avec un esprit de conservatisme et de prudence.
Le calcul d'un transitoire reste une opération plus ou moins précise en fonction des données disponibles et du niveau de sophistication du modèle mathématique. L'interprétation des résultats doit donc être prudente et en adéquation avec la précision attendue.
La théorie sur le fonctionnement d'un groupe turbine-alternateur et le calcul des transitoires sont présentés à la capsule théorique L'opération et le comportement de la turbine en régime transitoire.
Lors de la mise en œuvre du calcul, en première étape, le calcul du pic de Michaud permet d'obtenir une limite inférieure à la surpression maximale. Compte-tenu de sa simplicité, il devient une référence de départ très utile. Néanmoins ce calcul ne donne aucune idée de la survitesse atteinte par la turbine. Il faut donc appliquer la méthode d'Allievi présentée dans la capsule citée pour coupler le système hydraulique et le groupe turbine-alternateur.
Méthode : Étape 1 - Collecte des données générales
La méthode présentée ici est pour un système hydraulique sans ramification soit une turbine et sa conduite forcée.
La feuille de calcul jointe détaille les données de base :
On y trouve les définitions des variables données en commentaires sur la feuille de calcul. Entre autre, le calcul a besoin de la densité de l'eau, de l'accélération de la gravité.
On présente sur cette feuille un calcul de délestage à la pleine charge tel que décrit dans la capsule théorique.
L'indice 0 réfère au moment du déclenchement de la manœuvre. On doit y connaître certaines variables.
Dans l'exemple sur la feuille, au temps 0, le distributeur est ouvert à 27,5 degrés, la turbine tourne à la vitesse synchrone de 200 tpm et le débit de pleine charte est de 152,42 m³/s sous une chute de 200 m.
Pour ce qui est de la conduite simple présentée ici, deux variables la caractérisent soit : sa longueur et la vitesse de propagation de l'onde. Cette dernière valeur dépend de l'élasticité des matériaux de la conduite et du module d'élasticité de l'eau. On trouve dans la capsule la méthode de calcul de la vitesse du son.
L'inertie du rotor du groupe turbine-alternateur est nécessaire au calcul de la survitesse. Il fait partie des données de l'installation et provient des concepteurs des parties tournantes de groupe soit : la roue de la turbine, l'arbre et le rotor de l'alternateur qui en fait constitue l'essentiel de l'inertie.
Lors du déclenchement de la manœuvre, le régulateur actionne les servomoteurs qui agissent sur l'ouverture des directrices. On tire de cette action une relation temps-ouverture qui modifie les paramètres d'écoulement dans la turbine. Ces paramètres sont d'abord liés aux conditions d'opération, il s'agit de la chute \(H\) et de l'ouverture des directrices \(\gamma\) .
Ces paramètres sont extraits de la colline de rendement en \(n_{ed}\) et ouverture. Cette colline peut être graphique et sa lecture manuelle permet à partir des paramètres chute-vitesse et ouverture de trouver le débit de la turbine, son rendement et en déduire sa puissance et le couple mécanique à l'arbre.
Méthode : Étape 2 - Conditionnement des données de la colline au calcul avec un tableur
Le traitement numérique de la colline est abordé dans les méthodes d'interpolation sur une colline. Pour le calcul d'un transitoire, la colline doit être aussi étendue que possible. Idéalement, on doit y trouver le rendement 0% qui correspond à l'emballement et si possible, inclure une zone de rendements négatifs, ce qui est en pratique assez rare. Dans tous les cas, la méthode d'interpolation couvrira ces zones par une extrapolation qui n'est pas garante de représenter la physique du phénomène. Il faudra donc être prudent.
Comme l'intention est de faire le calcul dans un tableur, il faut générer deux grilles : celle représentant le rendement en fonction de l'ouverture et du \(n_{ed}\) et celle représentant le débit en fonction aussi de l'ouverture et du \(n_{ed}\). Si on utilise l'outil CollineGrille.sce décrit dans les méthodes d'interpolation, il faut sélectionner l'option Colline en ned-Ouv pour obtenir automatiquement les fichiers .csv qui contiennent les deux grilles. L'étendue et la densité de ces grilles sont alors spécifiées dans le tableau des nouvelles limites du domaine et pas de la grille . Plus on veut être précis dans l'interpolation linéaire plus la grille doit être dense. L'expérience aide à générer une grille suffisamment dense pour la précision attendue. On peut aussi vérifier que l'interpolation obtenue par Interpo2 dans le tableur donne un résultat suffisamment près de celle obtenue avec l'outil CollinePoint.sce qui a la même mathématique que CollineGrille.sce .
Méthode : Étape 3 - Mise en place de la feuille de calcul dans le tableur
Le premier onglet de la feuille est constitué des données de base.
Les deuxième et troisième onglets sont la colline quadrillée et correspondant à la variable Range de Interpo2 . Pour l'exemple, la colline de référence est en \(n_{11} - Q_{11}\) .
Les onglets suivants sont les calculs de chaque cas transitoire.
Regardons en détail le calcul d'un transitoire.
Chaque pas du calcul \(i\) est en première colonne. On commence le calcul à \(i=-1\), c'est-à-dire avant le déclenchement du transitoire pendant le fonctionnement stabilisé et normal de la turbine. Le pas de temps i=0 est le déclenchement du transitoire.
Chaque i multiplié par la durée du pas de temps (\(2L/c\)) donne l'étape de temps considéré pour le calcul.
La colonne \(\gamma_i\) correspond à l'évolution de l'ouverture des directrices pendant le transitoire. Il faut noter ici qu'une loi d'ouverture linéaire correspond à la course linéaire dans temps des servomoteurs de vannage. Ce n'est pas exactement l'évolulion de l'ouverture linéaire en angle des directrices, le mécanisme de vannage crée un légère variation dans la linéarité de l'angle. Dans l'exemple montré ici, pour simplifier, on utilise une évolution linéaire de l'ouverture angulaire des directrices.
Pour les colonnes \(H_{sup}\), la chute supposée et
\(n_{sup}\), la vitesse de rotation supposée et pour chaque étape \(i\) du calcul traité indépendamment du haut vers le bas, l'usager doit faire une supposition de chute et de vitesse de rotation du groupe. Pour l'exemple, la vitesse de rotation du groupe est en tpm.
On peut maintenant calculer le chiffre de vitesse correspondant aux suppositions des 2 colonnes précédentes. Pour l'exemple, le chiffre de vitesse est en \(n_{11}\) en tpm.
À partir de l'ouverture et du chiffre de vitesse on peut maintenant interpoler le chiffre de débit sur la colline en utilisant la fonction Interpo2.
Du chiffre de débit, on calcul maintenant le débit prototype dans le système.
La vitesse dans la conduite à l'obturateur (la turbine) est maintenant calculé.
On applique l'équation de Joukowski pour calculer la variation de la chute.
On applique l'équation d'Allievi[2] pour calculer la chute résultante.
À partir de l'ouverture et du chiffre de vitesse on peut maintenant interpoler le rendement modèle sur la colline en utilisant la fonction Interpo2.
On calcule la majoration et on l'applique au rendement modèle pour obtenir le rendement prototype. Pour information sur ce calcul, voir ici.
On calcule la puissance mécanique générée par la turbine découlant des valeurs supposées.
On calcul le couple moteur à partir des valeurs supposées.
Le couple résistif est une donnée qui dépend du type de transitoire. Dans le cas présent un délestage, il est instantanément nul lors du déclenchement.
La vitesse de rotation peut être calculé à partir de la différence entre le couple moteur et le couple résistif.
Le résidu exprime l'écart quadratique entre les chutes supposée et réelle et les vitesses supposée et réelle. Cette valeur doit être aussi près que possible de zéro, ce qui s'obtient par itération.
Pour chaque ligne, en commençant par la première et en poursuivant avec les suivantes, une par une dans l'ordre, il faut trouver les valeurs de chute et de vitesse de rotation supposée qui permettent d'obtenir un résidu presque nul.
A cette fin, on peut utiliser ligne par ligne le solveur avec les paramètres indiqués sur l'image sur la feuille.