Les transformations du domaine 3D vers les plans virtuels 2D
Développement des transformations
Les références Moulin[1] , Miller IV[2] , Rossgatterer[3] et plusieurs autres auteurs décrivent le développement des transformations que nous reprenons ici.
Ce développement s'appuie sur les concepts suivants :
La cascade, ici celle de la roue, est constituée de plusieurs aubes, chacune possédant une surface intrados et une surface extrados. Un surface médiale virtuelle, ici appelée
« âme »
, peut en être déduite.
Le fluide dans la roue de la turbine se déplace sur des surfaces de révolution et trace des abscisses curvilignes en trois dimensions qu'on peut nommer filets ou lignes de courant entre le bord d'attaque et le bord de fuite.
Ces surfaces de révolution intersectent le plan méridien pour former des courbes en deux dimensions correspondants aux lignes de courant.
L'évolution des angles le long du trajet en trois dimensions ou ligne de courant 3D :
contribue, par la relation d'Euler, à la transformation de l'énergie hydraulique en énergie mécanique
et peut être représentée par une transformation conforme.
Pour analyser le phénomène dans le domaine tridimensionnel, on utilise commodément les coordonnées cylindriques.
Avec :
\(r=\sqrt {x^2+y^2}\).
\(\theta = \tan^{-1}(y/x)\)
\(z=z\)
qui relient les coordonnées cartésiennes \((x,y,z)\) et cylindriques \((r,\theta,z)\). On verra qu'il y a une bijection entre la représentation en trois dimensions de la ligne de courant et la combinaison de la transformation conforme, qui nous permet d'obtenir un plan de la cascade virtuel avec la transformation dans un plan méridien.
Nous allons voir qu'il y a deux versions du plan virtuel. La première représente une mise à plat des longueurs de la géométrie 3D. La seconde permet de suivre plus facilement l'évolution des angles de la géométrie 3D, c'est le plan de cascade.
Fondamental : La représentation de l'écoulement dans le plan méridien
Tout le développement de la méthode s'appuie sur la représentation de l'écoulement dans le plan méridien. On y associera par la suite le plan de la cascade.
Pour la transformation sur le plan méridien, on retient et conserve intactes les valeurs \(r\) et \(z\) du domaine 3D ainsi :
\((r,z) = f(r, \theta , z)\) décrit la projection ou transformation du domaine 3D au plan méridien.
Dans ce plan, l'aubage est limité par le tracé de :
la face hydraulique du plafond ou moyeu définissant une courbe à iso-\(t=1\)
la face hydraulique de la ceinture ou manteau à iso-\(t=0\)
le bord d'attaque à iso-\(s=0\)
le bord de fuite à iso-\(s=1\)
Ces limites forment un carreau virtuel, dans le plan méridien, sur lequel on peut interpoler. Les paramètres normalisés \((s,t)\) de ce carreau varient chacun entre \(0\) et \(1\), avec l'origine \((0,0)\) localisée à l'intersection du bord d'attaque avec la ceinture. L'abscisse \(s\) est dans le sens de l'écoulement et l'ordonnée \(t\) dans le sens transverse.
Sur le plan méridien, entre le plafond et la ceinture, on peut générer des courbes bidimensionnelles à des iso-\(t\) spécifiés, résultants des trajectoires du fluide, transitant du bord d'attaque vers le bord de fuite. Ces courbes à iso-\(t\) sont approximativement parallèles entre elles et avec le plafond et la ceinture.
Pour une courbe simulant une ligne de courant donc à \(t\) constant, on peut exprimer en fonction de \(s\) toutes les coordonnées géométriques de tous les domaines et transformées. Ainsi, à un \(s\) donné on trouve les coordonnées du point \((r, theta, z)\) en trois dimension et ainsi les coordonnées \((r, z)\) sur le plan méridien.
Définition : Turbine élémentaire
On appelle la ligne de courant considérée « filet »
et le volume simulé par un filet est une « turbine élémentaire »
.
Fondamental : La transformation du domaine 3D avec conservation des longueurs
La transformation du domaine 3D vers le plan des longueurs
Comme première étape pour cette transformation, on considère que l'aubage est d'épaisseur nulle. Cette surface médiale, l'âme de l'aubage, est assumée guider l'écoulement de façon uniforme dans le domaine 3D et donc, fait l'objet de la conception.
À partir d'un ligne de courant identifiée à une coordonnée normalisée \(t\), on créé une surface de révolution où tout point peut être localisé avec deux coordonnées \(m\) et \(n\) ce qui réalise une mise à plat pour obtenir un plan virtuel.
\(m\) dans le plan méridien évolue dans le sens de l'écoulement à partir du bord d'attaque et
\(n\) dans le sens transverse perpendiculaire au plan méridien et dans un repère cylindrique.
Ainsi :
\((m, n) = g (r, \theta , z)\) décrit la transformation du domaine 3D au plan des longueurs avec :
Avec \(m\) la longueur curviligne dans le plan méridien qui s'exprime en fonction de \(s\) :
\(m=m(s) = \int_0^s \sqrt {\left({dr \over ds}\right)^2+\left({dz \over ds}\right)^2} ds\)
Et \(n\) la longueur curviligne dans le sens transverse qui s'exprime aussi en fonction de \(s\) :
\(n=r\theta=r(s)\theta(s)\)
On observe que le point du bord d'attaque de la ligne de courant est à un \(t\) spécifié constant et est déduite des coordonnées \((r, \theta, z)\) de la ligne de courant en trois dimensions.
N.B. Pour des raisons de visibilité, l'aubage est représenté décalé positivement par rapport à la description analytique où le bord d'attaque en ceinture est localisé à \(\theta=0\). On a choisi arbitrairement de représenter le plan des longueurs dans le plan y-z.
Remarque : La corde
Sur un filet, la corde, c'est-à-dire la droite qui relie le point du bord d'attaque et le point du bord de fuite, exprimée dans le plan des longueur
(m,n) est une géodésique dans le domaine en trois dimensions.
Fondamental : Déconstruction du profil 3D pour obtenir l'âme et la loi d'épaisseur
La surface médiale ou âme est obtenue par une opération de moyenne arithmétique avec la représentation cylindrique des surfaces intrados et extrados.
Ainsi pour un point sur l'intrados, caractérisé par les coordonnées \((r, \theta_i, z)\), on doit trouver le point équivalent aux même coordonnées \(r\) et \(z\) ou \(m\) sur l'extrados, on détermine alors la coordonnées \(\theta_e\) de ce point sur l'extrados qui est équivalente à \(n_e=r\theta_e\).
Le point équivalent sur la surface médiale sera donc :\( \left(r, {\frac {\theta_i+\theta_e}{2}},z \right)\) ou \((m,n_e)\)
La méthode pour y parvenir pour l'ensemble de la surface dépend de la forme canonique des surfaces et pourra se traiter dans un modeleur géométrique en trois dimensions.
Fondamental : La transformation conforme du domaine 3D avec conservation des angles
Le plan des longueurs étudié précédemment, quoi-qu’utile pour représenter les longueurs, n'est pas pratique pour suivre l'évolution des angles du filet et donc de l'écoulement. On a donc besoin de faire appel à un changement de coordonnées pour obtenir le plan de la cascade.
En divisant les coordonnées \((m,r\theta)\) par \(r\) on obtient les nouvelles variables suivantes :
\(u = \int_0^s{{dm\over ds}\over r} ds = \int_0^m{1\over r} dm\) où \(u(0)=0\) et
\(v(s)=\theta(s)\)
Ainsi, l'évolution de l'angle d'écoulement \(\alpha\) s'exprime :
\(\tan\alpha={rd\theta \over dm}={d\theta \over dm/r}={dv \over du}\)
Le plan u-v est virtuel et les coordonnées u-v sont adimensionnelles. Pour les représenter dans le modeleur 3D, on a multiplié u et v par 1000 pour obtenir des millimètres de dimensions comparables aux entités réelles.
Comme il s'agit d'une cascade périodique en angle, on peut obtenir les aubes voisines en calculant le pas à partir de \(Z_r\), le nombre d'aubes dans la roue :
\(v_{+1}(s)=\theta(s)+ {2\pi \over Z_r}\)
\(v_{-1}(s)=\theta(s)- {2\pi \over Z_r}\)
Cette représentation de la grille d'aube en 2 dimensions \((u,v)\) par une périodicité linéaire est représentative du champ angulaire de tout le domaine représenté par la surface de révolution et permet d'analyser la distribution des angles.
Complément : La conformité des longueurs et des angles
Conformité des longueurs dans le plan de cascade m-n
Soit \(dl\) la longueur parcourue par une particule fluide le long de la ligne de courant en trois dimensions.
Si on exprime cette longueur dans le domaine \((m,n)\), pour avoir conservation des longueur, il faut qu'elle soit équivalente à la longueur parcourue en trois dimensions dans le domaine \((x, y ,z)\).
\(dl=\sqrt {(dm)^2+(d n)^2}\)
sachant que :
\((dm)^2 = (dr)^2+(dz)^2\) et que \((dn)^2 = (rd\theta)^2\)
on obtient :
\((dl)^2=(dr)^2+(dz)^2 + (rd\theta)^2\) ce qui est l'expression de la variation de longueur dans le système cylindrique.
Comme il y a équivalence entre les longueur des systèmes cylindrique et cartésien, la conformité des longueurs mesurées dans le plan m-n est démontrée.
Conformité des angles dans le plan de cascade u-v
Pour obtenir la conformité des angles entre le domaine 3D et le plan de cascade \(u-v\), il faut que pour tout point sur le filet, donc à une coordonnée curviligne \(s\) donnée, on ait le même angle pour la représentation tridimensionnelle et le plan de cascade.
L'évolution de l'angle d'écoulement \(\alpha\) en tout point de la courbe sur la surface de révolution s'exprime comme :
\(\tan\alpha={rd\theta \over dm}\)
En divisant le numérateur et le dénominateur par \(r\), l'angle n'est pas modifié.
On obtient ainsi :
\(\tan \alpha = {{ d \theta }\over {dm/r}}\)
et puisque \(du = dm/r\) et \(v = d\theta\) on obtient
\(\tan \alpha = {dv \over du}\)
Ce qui est bien l'angle exprimé dans le plan de la cascade.
Remarque : Lecture de la loi angulaire le long du profil
Comme il a été mentionné, la relation d'Euler permet de passer des conditions hydrauliques et de performance aux angles que l'écoulement doit avoir au bord d'attaque et au bord de fuite. Entre les deux, l'hydraulicien a défini la façon dont les angles évoluent entre ces deux valeurs. Cette loi s'exprime ainsi :
\(\tan \alpha = {dv \over du}\) ou bien \(\alpha = \tan^{-1} {dv \over du}\)
\(\alpha\) est aussi une fonction de \(s\).