Les transformations inverses des deux domaines 2D vers le domaine 3D

Là où la méthode de tracé prend tout son sens, c'est avec la transformation inverse qui permet à l'hydraulicien de travailler en deux dimensions pour obtenir ensuite un tracé en trois dimensions.

On fera appel à 3 plans pour définir la géométrie en 2 dimensions et ensuite la transformer en trois dimensions. Cela permet de plus facilement appréhender les notions de limites, angles et épaisseurs

Il y a :

  • Le plan méridien

  • Le plan de cascade

  • Le plan des épaisseurs

FondamentalLe plan méridien

Donc, dans le plan méridien l'hydraulicien doit définir pour l'aubage, les quatre limites du carreau : la face hydraulique du plafond ou moyeu et la face hydraulique de la ceinture ou manteau, sur lesquelles l'écoulement glisse ; le bord d'attaque et le bord de fuite qui constituent des frontières de révolution que l'écoulement doit traverser pour effectuer son travail.

Ces limites forment un carreau virtuel, dans le plan méridien, sur lequel on peut interpoler. Les paramètres normalisés \((s,t)\) de ce carreau varient chacun entre \(0\) et \(1\), avec l'origine \((0,0)\) localisée à l'intersection du bord d'attaque avec la ceinture. L'abscisse \(s\) est dans le sens de l'écoulement et l'ordonnée \(t\) dans le sens transverse.

Sur le plan méridien, entre le plafond et la ceinture, on peut générer des courbes bidimensionnelles à des iso-\(t\) spécifiés, résultants des trajectoires du fluide, transitant du bord d'attaque vers le bord de fuite. Ces courbes à iso-\(t\) sont approximativement parallèles entre elles et avec le plafond et la ceinture.

Pour une courbe simulant une ligne de courant donc à \(t\) constant, on peut exprimer en fonction de \(s\) toutes les coordonnées géométriques de tous les domaines et transformées. Ainsi, à un \(s\) donné on trouve les coordonnées du point \((r, theta, z)\) en trois dimension et ainsi les coordonnées \((r, z)\) sur le plan méridien.

FondamentalLe plan de cascade

Dans le plan de la cascade calculé en (u,v), l'hydraulicien définit la courbe évoluant pour s entre 0 et 1, en exprimant les valeurs limites \(\theta(0)\) et \(\theta(1)\).

on obtient directement \(\theta =v +\theta_0\) avec \(v=v(s)\) et où \(\theta_0\) indique où se trouve la position angulaire du point du bord d'attaque.

De la même façon pour u on obtient \(u(0)=0\) et \(u(1) = m(1) \int_0^1{1\over r} ds\)

Entre les deux valeurs limites pour s=0 et s=1, on doit définir la loi de distribution des angles. Ce qui est en fait le moment crucial de la définition du tracé hydraulique.

L'évolution de la courbe en \(u-v\) du bord d'attaque au bord de fuite qui doit être défini par la mécanique des fluides mais les limites u(0), u(1), v(0) et v(1) ne peuvent être modifiées autrement qu'en modifiant les limites définies dans le plan méridien.

Pour une même valeur de \(s\) on obtient \(r\), \(z\), \(\theta et v\).

Pour paramétrer chacun des filets fluides, on peut avantageusement utiliser une courbe de Bézier. Sur la figure, la position des pôles définit entièrement le filet. On y observe que l'angle évolue de -25 degrés à -65 degrés entre les bords d'attaque et de fuite. Pour les besoins de la représentation dans un logiciel de géométrie 3D (ici FreeCAD), on a multiplié les valeurs u et v par 1000 pour une présentation graphique en mm même si ce sont des données adimensionnelles.

Notre courbe médiale peut donc être tracée dans le domaine 3D.

Cette courbe doit ensuite être habillée de l'épaisseur du tracé.

FondamentalLe plan des longueurs

Pour bâtir la surface de l'aubage, il faut ajouter une loi d'épaisseur à l'âme. Pour ce faire, on doit travailler dans le domaine qui respecte la conservation des longueurs.

Il s'agit du plan des coordonnées (m, n) qui comme on l'a vu sont définies :

Avec \(m\) la longueur curviligne dans le plan méridien qui s'exprime en fonction de \(s\) :

  • \(m=m(s) = \int_0^s \sqrt {\left({dr \over ds}\right)^2+\left({dz \over ds}\right)^2} ds\)

Et \(n\) la longueur curviligne dans le sens transverse qui s'exprime aussi en fonction de \(s\) :

  • \(n=r\theta=r(s)\theta(s)\) et plus exactement :

    \(n(s)=n(0)+\int_0^s {d v(s) \over r(s)} ds\)

FondamentalL'habillage avec une loi d'épaisseur

Comme on l'a vu lors de la déconstruction du profil 3D pour obtenir l'âme et la loi d'épaisseur, cette dernière est construite point par point sur une projection circulaire et donc à rayon \(r\) constant, \(z\) constant, ce qui équivaut à être à \(m\) constant.

La surface médiale ou âme est obtenue par une opération de moyenne arithmétique avec la représentation cylindrique des surfaces intrados et extrados.

Ainsi pour un point sur l'intrados, caractérisé par les coordonnées \((r, \theta_i, z)\), on doit trouver le point équivalent aux même coordonnées \(r\) et \(z\) ou \(m\) sur l'extrados, on détermine alors la coordonnées \(\theta_e\) de ce point sur l'extrados qui est équivalente à \(n_e=r\theta_e\).

Le point équivalent sur la surface médiale sera donc :\( \left(r, {\frac {\theta_i+\theta_e}{2}},z \right)\) ou \((m,n_e)\)

La méthode pour y parvenir pour l'ensemble de la surface dépend de la forme canonique des surfaces et pourra se traiter dans un modeleur géométrique en trois dimensions.

La loi de demie épaisseur est modélisé dans un plan virtuel 2D des épaisseurs. On utilisera à cette fin les outils du modeleur géométrique pour construire le profil 2d à partir d'une forme à pôle.

Demie loi d'épaisseur avec points de contrôleInformations[4]

Pour un profil hydraulique, l'intégrité mécanique exige qu'on ne finisse pas un bord de fuite à son épaisseur nulle. On impose donc une troncature du profil à une épaisseur satisfaisante.

On obtient donc une demie loi d'épaisseur avec en abscisse la position sur la corde retenue pour la conception qui correspondra à la longueur du profil.

Si on exprime le plan virtuel des épaisseurs dans les coordonnées \((x, y)\), \(y(x)\) correspondra à l'épaisseur à la coordonnée x de ce plan.

FondamentalAssemblage dans le domaine 3D

Dans le plan des longueurs on fait correspondre la variable \(m\) à la corde retenue pour la conception. Ainsi, on détermine le rapport d'échelle entre le plan des épaisseurs et la longueur du profil dans le plan méridien.

La demie épaisseur s'ajoute donc selon l'ordonnée \(n\) dans le plan des longueurs qui est linéaire dans ce plan. On exprimera la demie épaisseur comme étant \(dn(s)\) pour la transposer dans le plan des longueurs.

\(dn(s)= {y(x)\over {Corde_{retenue}}}\) avec \(s={x\over {Corde_{retenue}}}\)

Les demies épaisseurs intrados (\(dn_i(s)\)) et extrados (\(dn_e(s)\)) devraient être identiques pour conserver la définition de l'âme qui par sa définition est une surface médiale. Toutefois, pour des raisons pratiques, en cours de conception, il peut être utile des les différencier, tout en se rappelant que le cas échéant, l'âme ne représente plus les angles de l'écoulement.

On peut maintenant compléter le profil dans le plan des cascades.

À ce stade, à la coordonnée \(s\) correspond, pour l'âme du profil \(r(s)\), \(\theta(s)\), \(m(s)\), \(n(s)\), \(u(s)\) et \(v(s)\).

Pour les face intrados et extrados nous avons les mêmes valeurs \(r(s)\), \(\theta(s)\), \(m(s)\)et \(u(s)\) auxquelles s'ajoutent les positions de l'intrados \(n_i(s)\) et de l'extrados \(n_e(s)\).

Il reste \(v\) à déterminer pour ces deux faces. Il s'agit de calculer variation angulaire créée par les deux demi-épaisseurs et de l'ajouter à l'angle \(v\) de l'âme.

Donc :

\(v_i(s)=v(s)+{dn_i(s)\over r(s)}\) et

\(v_e(s)=v(s)+{dn_e(s)\over r(s)}\)

Construction de l'intrados et de l'extrados dans le plan de cascade u-vInformations[7]

On transpose ensuite les profils intrados et extrados du plan de cascade au domaine 3D.

On a donc toutes les coordonnées exprimées en fonction de \(s\).

Donc, pour l'âme, l'intrados et l'extrados :

\(x(s)=r(s)\cos(v(s))\)

\(y(s)=z(s)\sin(v(s))\)

\(z(s)\)