Formulation numérique de la transformation de 3D aux deux plans conformes 2D
Fondamental :
Comme on l'a vu pour la formulation analytique, la première étape est la projection cylindrique de l'aubage sur le plan méridien. On note que les faces intrados, extrados et l'âme, qui est une face virtuelle médiale résultant des deux premières, donnent la même projection.
La surface méridienne qui en résulte est limitée par les surfaces de révolution du plafond et de la ceinture et par les arêtes périodiques des bords d'attaque et de fuite. Cette surface peut être représentée par une fonction des variables normalisées \(s\) et \(t\). Il est alors possible d'interpoler sur cette surface.
Considérons une courbe, sur cette surface méridienne, définie à un iso-t constant ( sur la figure t = 0,6). Cette courbe est discrétisée régulièrement par une suite de \(n+1\) points numérotés en \(i\), évoluant en fonction de l'abscisse curviligne \(s\) qui varie de 0 à 1.
Chacun des \(n +1\) points \((r_i,z_i)\) dans le plan méridien est associé par la projection cylindrique à un point \((r_i,\theta_i,z_i)\) du domaine 3D.
Au point j, la longueur curviligne de la courbe dans le plan méridien est :
\(m_j = \sum_{i=1}^{i=j}{\sqrt{(r_i-r_{i-1})^2+(z_i-z_{i-1})^2}}\)
Ce qui implique que la longueur curviligne à \(i=0\), \(m_0 = 0\) et que la longueur totale de la courbe est \(m_n\).
L'abscisse curviligne de chacun des points est : \(s_j = {m_j \over m_n}\) ce qui va donner :
\(s_0=0\)
\(s_n=1\)
Si on prend la précaution de générer les points à égale distance sur la courbe dans le plan méridien on ajoute :
\(\Delta s = s_i-s_{i-1}={1 \over n}\)
\(\Delta m = m_i-m_{i-1}={m_n \over n}\)
Pour le plan de la cascade on aura donc :
\(u_j=\sum_{i=1}^{i=j} {{\Delta m} \over r_i}\) qui avec des points distribués régulièrement devient :
\(u_j= {m_n \over n} \sum_{i=1}^{i=j} {1 \over r_i}\)
et \(v_j=\theta_j\)
Avec les caractéristiques suivantes :
\(u_0=0\)
\(u_n={ m_n \over n}\sum_{i=1}^{i=n} {1 \over r_i}\)
\(v_0=\theta_0\)
\(v_n = \theta_n\)
Pour chaque indice \(i\) on a une abscisse curviligne \(s_i\) à laquelle correspond un \(x_i\),\( y_i\),\( z_i\), \(r_i\), \(\theta_i\), \(m_i\), \(u_i\) et \(v_i\). Ce qui fait que chacune de ces coordonnées qui étaient exprimées dans la formulation analytique comme des fonctions de \(s\) deviennent dans la formulation numérique des fonctions de \(i\).
La distance curviligne entre les points d'une courbe n'est constante que dans le plan méridien, dans le domaine 3D et dans le plan de cascade cette distance n'est pas constante.
N.B. Pour des raisons de visibilité, sur la figure l'âme a été déphasée positivement. Pour l'analyse, on situe le point bord d'attaque-ceinture à l'origine v=0.
La trajectoire de la particule fluide dans le domaine tridimensionnel de l'aubage est donc maintenant représentée dans les deux plans conformes : méridien et cascade.