Détermination de l'amont de la roue - Étude de cas
Exemple : Quelle est la géométrie amont de la roue Francis de 150 MW sous 100 m de chute ?
Un outil de dimensionnement est joint ici et reprend tous les calculs détaillés ci-bas.
Dans un paragraphe précédent Détermination du diamètre - Étude de cas on a déterminé, pour les mêmes conditions, le diamètre de la roue et son enfoncement. Ces variables servent donc de départ à notre exercice.
On sait que le sigma d'implantation est \(\sigma_p =0,1306\) et que le diamètre de sortie de la roue est \(D= 4,167\) m et donc \(R=2,083\) m. Ce calcul a été effectué pour la pleine charge sous la chute nominale où le rendement se situe à \(\eta_{nom}=94\)%.
Pour la géométrie à l'amont de la roue, on doit travailler avec le point de rendement maximum qui s'obtient avant d'atteindre la pleine charge. Supposons un sommet de rendement de 95% obtenu à 85% du débit de pleine charge.
\(X_Q=\frac{Q_{opt}}{ Q_{nom}}=0,85\)
Donc \(Q_{opt} = X_Q*Q_{nom}=0,85*162,7 = 138,3\) m³/s et la chute interne au point optimal y est :
\(H_{Iopt}=H_{nom} * 0,95 = 95\) m
De plus \(Cm_2=\frac{Q_{opt}}{\pi R^2}=\frac{138,3}{\pi \ 2,083^2}=10,14\) m/s.
Vitesse angulaire
En souhaitant obtenir un angle \(\alpha_2=-68\) degrés on peut calculer la vitesse angulaire par :
\(\omega = \frac{U_2}{ R_2}\) où \(U_2 =-Cm_2\tan(\alpha_2)\) et \(R_2=2,083*\frac{\sqrt 2}{2}=1,473\) m.
Donc \(\omega = \frac{10,14 * -\tan(-68)}{1,373}=18,91\) rad/s.
Donc, on peut définir pour les points de fonctionnement les paramètres hydrauliques suivants :
Au point nominal :
\(\psi_{nom}=\frac{2E}{\left(\omega\frac{D}{2}\right)^2}=\frac{2*981}{\left(18,91*2,083\right)^2}=1,272\)
\(\varphi_{nom}=\frac{Q}{\pi\omega\left(\frac{D}{2}\right)^3}=\frac{162,7}{\pi*18,91*2,083^3}=0,304\)
Au point optimum :
\(\psi_{opt}=\frac{2*981}{\left(18,91*2,083\right)^2}=1,272\)
\(\varphi_{opt}=\frac{138,3}{\pi*18,91*2,083^3}=0,258\)
Détermination du canal à l'entrée de la roue sur des critères de conception hydraulique
Posons \(X_{Cm}=\frac{Cm_1}{Cm_2}= 0,9\) et
\(X_{\Delta\alpha}= \alpha_2-\alpha_1=-10\) degrés. Ici, c'est le concepteur qui décide à partir de son expérience et ses calculs.
Pour les triangles des vitesses de sortie :
\(Cm_2=\frac{Q_{opt}}{\pi R^2} = \frac{138,3}{\pi (2,083)^2}=10,14\) m/s
On peut y calculer la vitesse tangentielle solide.
\(U_2=\omega R_2=18,91*1,473=27,86\) m/s
Puisque l'écoulement est parfaitement axial :
\(Cu_2 = 0\)
\(\gamma_2=0\)
\(C_2=Cm_2=10,14\) m/s
\(Wu_2 = -U_2= -27,86\)
\(W_2 = \sqrt{Cm_2^2+Wu_2^2}=\sqrt{10,141^2+-27,86^2}=29,65\) m/s.
Pour les triangles des vitesses d'entrée :
\(Cm_1=X_{Cm} Cm_2= 0,9*10,14=9,13\) m/s.
\(\alpha_1= \alpha_2-X_{\Delta\alpha}=-70--10=-60\) degrés.
\(Wu_1=Cm_1\tan \alpha_1=9,13*\tan(-60)=-15,81\) m/s.
\(U_1 =\frac{-W_{u1}+\sqrt{W_{u1}^2+4E_{Iopt}}}{2}=\frac{--15,81+\sqrt{-15,81^2+4*9,81*95}}{2}=39,44\) m/s.
\(Cu_1=U_1+Wu_1=39,44-15,81=23,63\)
\(C_1=\sqrt{Cm_1^2+Cu_1^2}=\sqrt{9,13^2+23,63^2}=25,33\) m/s.
\(\gamma_1=\arctan \frac{Cu_1}{Cm_1}=\arctan \frac{23,63}{9,13}=68,88\) degrés.
Maintenant on peut extraire des vitesses d'entrée R_d et b_d :
\(R_d=\frac{U_1}{\omega}=\frac{39,44}{18,914}=2,085\) m
\(b_d=\frac{Q_{opt}}{2\pi R_d Cm_1}=\frac{138,3}{2\pi 2,085 * 9,13}= 1,156\) m.