L'équation de Bernoulli - conservation de l'énergie

FondamentalDaniel Bernoulli 1738

Conservation de l'énergie avec BernoulliInformations[1]

Pour étudier l'écoulement d'un fluide incompressible et idéal dans un conduit quelconque, considérons un débit permanent qui nous donne un volume et donc une masse s'y déplaçant pendant le temps Δt :

  • Dans la zone 1 à section constante \(A_1\), pour le débit \(Q\) on obtient la vitesse \(v_1=Q/A_1\) et le fluide parcourt la distance \(s_1\).

  • Dans la zone 2 par conservation du débit Q on obtient la vitesse \(v_2=Q/A_2\) et le fluide parcourt la distance \(s_2\).

Pour les zones 1 et 2, la conservation de l'énergie nous indique que les sommes du travail massique (\(W\)) et des énergies massiques cinétique (\(E_c\)) et potentielle (\(E_p\)) sont égales et donc constantes.

Ce qui s'exprime par :

W 1 + E p 1 + E c 1 = W 2 + E p 2 + E c 2 E pi = g z i m E ci = m v i 2 2 E ci = v i 2 2 m W i = p i A i s i = p i A i v i Δ t ρ Q Δ t W i = p i Q Δ t W i = p i ρ En assemblant : p 1 ρ + g z 1 + v 1 2 2 = p 2 ρ + g z 2 + v 2 2 2 p i ρ + g z i + v i 2 2 = Constante W_1+ E_p1+E_c1 =W_2+ E_p2+E_c2 newline où newline E_pi = g z_i newline m E_ci= m { v_i^2} over {2} rightarrow E_ci= { v_i^2} over {2} newline m W_i=p_i A_i s_i = p_i A_i v_i %DELTA t newline %rho Q %DELTA t W_i =p_i Q %DELTA t newline W_i = {p_i} over { %rho } newline En assemblant: newline {p_1} over { %rho } + g z_1 + { v_1^2} over {2}={p_2} over { %rho } + g z_2 + { v_2^2} over {2} newline {p_i} over { %rho } + g z_i + { v_i^2} over {2}=Constante

En mécanique des fluides, le principe de Bernoulli statue que dans le flux d'un fluide où l'énergie se conserve, une accélération se produit simultanément avec la diminution de la pression.

DéfinitionQuelques définitions découlant de l'équation de Bernoulli

On appelle énergie totale \(E_t\) , l'énergie calculée par Bernoulli à une section i d'un conduit.

\(E_{t_i} = {p_i \over \rho} + g z_i + {{v_i}^2 \over 2 }\)

On appelle perte de charge \(g h_f\) ,la différence d'énergie totale entre deux sections d'un conduit.

\(g h_{f12} = E_{t_1} - E_{t_2}\)