Application de la similitude mécanique à l'équation de Newton

Soit deux systèmes décrits par l'équation de Newton et qui sont en similitude :

\(F' = m' {{dV'} \over {dt'}}\) et \(F'' = m'' {{dV''} \over {dt''}}\)

Donc :

F ' F ' ' = m ' dV ' dt ' m ' ' dV ' ' dt ' ' → F * = m * V * t * {F'} over {F''} = {m' {dV'} over {dt'} } over {{m'' {dV''} over {dt''} }} " " rightarrow " " F^"*" = m^"*" {V^"*"} over {t^"*"} newline

De la même manière :

V * = L * t * → F * = m * V *2 L * = m * L * t *2 V^"*"= {L^"*"} over {t^"*"} " " rightarrow " " F^"*" = m^"*" {V^"*2"} over {L^"*"}= m^"*" {L^"*"}over {t^"*2"}

Le F* exprime :

"le rapport des forces extérieures qui créent le mouvement des éléments considérés. Lorsque ces forces extérieures sont les forces poids :"[1]

\(F^* = m^* g^*\) et considérant que c'est la même gravité qui est appliquée au deux systèmes (\(g^*=1\)), \({F^* \over m^*} = 1\) et on obtient :

V *2 L * = 1 → t *2 = L * {V^"*2"} over {L^"*"} =1 " " rightarrow " " t^"*2" = L^"*"

Suivant cette équation, on peut exprimer :

\(H^*=\rho^* g^* H^*=p^*=\frac{F^*}{A^*}=\frac{m^*}{L^{*2}}=\frac{L^{*3}}{L^{*2}}=L^*\)

C'est ce qui définit la condition de Froude ! L'échelle géométrique s'applique à toute l'installation, ceci inclus la turbine et les niveaux des biefs amont et aval.

Et donc cela s'applique à la chute et à l'énergie qui sont directement liées aux hauteurs de l'installation :

\(E^*=H^* = L^*\)

Puisque \(V^{*2}=L^*\) on a aussi \(V^*=\sqrt{H^*}\)

DéfinitionLe nombre de Froude

Le nombre de Froude est défini comme :

ℱ = V gL ℱ= {V} over { sqrt{gL} }

Quand deux systèmes présentent le même nombre de Froude, on obtient la condition de Froude.

FondamentalLa condition de Froude

Une des dimensions importantes d'une installation hydroélectrique, c'est la hauteur de chute \(H\) qui est en fait l'énergie.

Si la condition de Froude est respectée :

  • L'échelle du modèle par rapport au prototype correspond aussi au rapport des chutes (énergies) modèle et prototype : \(H^*=L^*\)

  • Exprimée différemment, la chute d'essai est déterminée par le rapport d'échelle géométrique appliqué à la chute du prototype.

  • Le rapport des vitesses est proportionnel à la racine de l'échelle et donc à la racine du rapport des chutes : \(V^*=\sqrt {H^*}\)

  • La pression est en similitude et il y a une correspondance directe entre les pressions modèle et prototype. C'est le rapport d'échelle des longueurs : \(p^*=L^*\)

ExempleExemple de l'effet de la condition de Froude

Considérons un montage expérimental où on observe un écoulement et où une dimension significative est égale à 1. L'échelle du montage se définit par rapport à cette dimension.

Considérons un second montage identique au premier sauf pour l'échelle, la dimension significative est égale à 4.

Le rapport d'échelle est donc \(L^* = \frac {L'}{L''}= \frac {1}{4}\)

Si la condition de Froude est respectée, en tout point homologue on observera que la vitesse du second montage est le double de la grandeur du premier puisque :

\(V^*=\sqrt {L^*}= \frac {1}{2}\rightarrow V''=2 \times V'\)

Si un phénomène prend 10 secondes sur le premier montage. il prendra donc le double de ce temps sur le second ainsi :

\(t^{*2}=\left({\frac {t'}{t''}}\right)^2=L^* \rightarrow \frac {t'}{t''}=\sqrt {L^*} \rightarrow t''= \sqrt {\frac{4}{1} }\times t'=2\times t'\)