Similitude complète : les conditions

Équilibre des forces dans un écoulement incompressible et réel

Les forces impliquées dans un écoulement incompressible et réel sont :

  • Force d'inertie \(F_i\) .

  • Force de poids \(F_g\) .

  • Force de pression \(F_p\) .

  • Force de viscosité \(F_f\) .

De l'équilibre de ces forces on peut écrire :

\(F_i=F_g+F_p+F_f\)

Entre deux systèmes, il y a conservation des ratios de force suivants : \({{F_g} \over {F_i}}\) , \({{F_p} \over {F_i}}\) et \({{F_f} \over {F_i}}\) .

Ils correspondent aux 3 conditions nécessaires suivantes :

ℱ = V gL = Constante 1 V H = Constante 2 ℛ = VL ν = Constante 3 ℱ= {V} over { sqrt{gL} } = Constante1 newline newline {V} over { sqrt{H} } = Constante2 newline newline ℛ= {VL} over { %nu } = Constante3 newline

Il faut que la condition de Froude, de Combe-Rateau et de Reynolds soient satisfaites. Ceci n'est possible que lorsque \(L^*=1\), c'est donc sans intérêt.

ExempleSimilitude de Reynolds appliquée entre un modèle et un prototype

Supposons un modèle 10 fois plus petit que le prototype, ce qui correspond à un ordre de grandeur réaliste :

\(L^* = {L_p \over L_m} =10\)

La similitude de Reynolds, pour une eau à la même température, implique que :

\(L_p V_p = L_m V_m\)

Donc en appliquant le facteur d'échelle :

\(V^*={V_p \over V_m }= {1 \over L^*} = 0,1\)

Donc pour le débit :

\(Q_p=A_p V_p\) et \(Q_m=A_m V_m\)

Considérant que pour les sections \(A^* = L^{*2}=100\) :

Conséquemment :

\(Q^* = A^* V^*= L^{*2} {1 \over L^*}=L^* =10\)

On a vu que Combe-Rateau implique :

\(H^*=V^{*2} \rightarrow H^*={1 \over L^{*2}}\)

Considérant que la puissance mécanique générée est : \(P = \rho g H Q\)

\(P^*={P_p \over P_m}=H^* Q^* ={1 \over L^{*2}} L^*= {1 \over L^*}= 0,1\)

Donc \(P_m = 10 P_p\).

On s'aperçoit donc qu'en voulant appliquer la similitude de Reynolds en conservant le même fluide, il faudra générer 100 fois la chute prototype aux bornes de la turbine modèle qui elle produira 10 fois la puissance prototype.

Cela devient donc sans intérêt.

Remarque

La voie de la similitude est étroite et contraignante, la similitude parfaite n'existe que pour deux systèmes identiques. Il faut donc accepter de faire des compromis qui nécessitent de bien connaître ces hypothèses et les limites qui en découlent.