Application de la similitude mécanique à un écoulement visqueux [Turbines hydrauliques

Application de la similitude mécanique à un écoulement visqueux

Soit F la tension tangentielle ou la force de cisaillement dans un écoulement visqueux de deux systèmes en similitude illustré par un écoulement de Couette.

Écoulement de Couette | Informations^[1]

Selon l'hypothèse de Newton :

τ_{xy} = μ \frac{d V}{d y} = \frac{F}{A}

Pour les système 1 et 2 : $F'=\mu' A' {{d V'} \over {d y'}}$ et $F''=\mu'' A'' {{d V''} \over {d y''}}$ .

Puisque $A^*=L^{*2}$ , on obtient l'expression du rapport des forces visqueuses :

F^{*} = μ^{*} L^{*} V^{*}

Sachant que par la similitude de Newton, les forces d'inertie s'expriment :

F^{*} = m^{*} \frac{V^{*2}}{L^{*}}

On peut maintenant exprimer le rapport des forces d'inertie sur les forces visqueuses ainsi :

\frac{m^{*} \frac{V^{*2}}{L^{*}}}{μ^{*} L^{*} V^{*}} = \frac{m^{*} V^{*} L^{*}}{μ^{*} L^{*3}} = \frac{ρ^{*} V^{*} L^{*}}{μ^{*}} = \frac{V^{*} L^{*}}{ν^{*}}

Ce qui nous amène à la définition du nombre de Reynolds :

ℛe = \frac{VL}{ν}

Définition : Le nombre de Reynolds

$ℛe = \frac{VL}{ν}$

Exprime la similitude de deux écoulements en fluide réel par le ratio des forces d'inertie sur les forces visqueuses.
- Plus il est petit plus les forces visqueuses sont importantes.

Pratiquement impossible à appliquer sur modèle réduit:
- Pour un modèle 10 fois plus petit que le prototype:
  - Il faudrait une vitesse d'écoulement 10 fois plus grande qui sera produite par une chute 100 fois plus grande suivant la relation de Combe-Rateau et une puissance modèle 10 fois celle proto.
  - Cela annule l'avantage de tester à échelle déduite.
Les pertes et le rendement mesurés sur modèle réduit ne peuvent être ceux obtenus sur le prototype (avec un même fluide dans les 2 cas).
Par contre, dans une turbine les forces visqueuses sont peu importantes et les forces d'inertie dominent le comportement.