Application de la similitude mécanique à un écoulement visqueux

Soit F la tension tangentielle ou la force de cisaillement dans un écoulement visqueux de deux systèmes en similitude illustré par un écoulement de Couette.

Écoulement de CouetteInformations

Selon l'hypothèse de Newton 

\(\tau_{xy}=\mu\frac{dV}{dy}=\frac{F}{A}\)

Pour les système 1 et 2 : \(F'=\mu' A' {{d V'} \over {d y'}}\) et \(F''=\mu'' A'' {{d V''} \over {d y''}}\) .

Puisque \(A^*=L^{*2}\) , on obtient l'expression du rapport des forces visqueuses 

\(F^*=\mu^*L^*V^*\)

Sachant que par la similitude de Newton, les forces d'inertie s'expriment 

\(F^*=m^*\frac{{V^*}^2}{L^*}\)

On peut maintenant exprimer le rapport des forces d'inertie sur les forces visqueuses ainsi :

\(\frac{m^*\frac{{V^*}^2}{L^*}}{\mu^*L^*V^*}=\frac{m^*V^*L^*}{\mu^*{L^*}^3}=\frac{\rho^*V^*L^*}{\mu^*}=\frac{V^*L^*}{\nu^*}\)

Ce qui nous amène à la définition du nombre de Reynolds :

ℛe = VL ν ℛe= {VL} over { %nu }

DéfinitionLe nombre de Reynolds

ℛe = VL ν ℛe= {VL} over { %nu }

  • Exprime la similitude de deux écoulements en fluide réel par le ratio des forces d'inertie sur les forces visqueuses.

  • Plus il est petit plus les forces visqueuses sont importantes.

  • Pratiquement impossible à appliquer sur modèle réduit:

    • Pour un modèle 10 fois plus petit que le prototype:

      • Il faudrait une vitesse d'écoulement 10 fois plus grande qui sera produite par une chute 100 fois plus grande suivant la relation de Combe-Rateau et une puissance modèle 10 fois celle proto.

      • Cela annule l'avantage de tester à échelle déduite.

  • Les pertes et le rendement mesurés sur modèle réduit ne peuvent être ceux obtenus sur le prototype (avec un même fluide dans les 2 cas).

  • Par contre, dans une turbine les forces visqueuses sont peu importantes et les forces d'inertie dominent le comportement.