Application de la similitude mécanique à l'équation de Bernoulli [Turbines hydrauliques

Application de la similitude mécanique à l'équation de Bernoulli

En fluide parfait

Soit deux systèmes en similitude et en fluide parfait décrits en un point par Bernoulli :

Pour le système 1 :

E' = g' H' = g' z' + \frac{V'^{2}}{2} + \frac{p'}{ρ'}

Pour le système 2 :

E'' = g'' H'' = g'' z'' + \frac{V''^{2}}{2} + \frac{p''}{ρ''}

En considérant que les deux systèmes sont soumis à la même gravité et ont un fluide de même densité, le rapport des énergies totales des 2 systèmes donne :

\begin{matrix} \frac{gH'}{gH''} = \frac{gz' + \frac{V'^{2}}{2} + \frac{p'}{ρ}}{gz'' + \frac{V''^{2}}{2} + \frac{p''}{ρ}} \\ \frac{H'}{H''} (gz'' + \frac{V''^{2}}{2} + \frac{p''}{ρ}) = gz' + \frac{V'^{2}}{2} + \frac{p'}{ρ} \\ H^{*} gz'' + H^{*} \frac{V''^{2}}{2} + H^{*} \frac{p''}{ρ} = z^{*} gz'' + V^{*2} \frac{V''^{2}}{2} + p^{*} \frac{p''}{ρ} \end{matrix}

Ce qui nous amène aux lois de similitude suivantes :

\begin{matrix} z^{*} = H^{*} \\ V^{*2} = H^{*} \\ p^{*} = H^{*} \end{matrix}

Définition : La condition de Combe-Rateau 1892

La relation

$V^{*2} = H^{*} ou V^{*} = \sqrt{H^{*}}$

est indépendante de la dimension des turbines. C'est la relation de Combe-Rateau ou similitude cinématique de Combe-Rateau.

L'échelle des vitesses et celle des longueurs sont indépendantes (la vitesse est liée à l'énergie seulement)
- Peu importe la dimension de la turbine, il sera toujours possible de représenter le champ de vitesse à un facteur près.
- C'est la seule condition qui doit toujours être respectée pour être en similitude.

C'est moins contraignant que la condition de Froude mais l'étendue de la similitude est réduite:
- Le champ de pression n'est plus en similitude particulièrement si les dimensions de la turbine sont proches de la chute. Cet inconvénient devra être évalué et géré.