Application de la similitude mécanique à l'équation de Bernoulli

En fluide parfait

Soit deux systèmes en similitude et en fluide parfait décrits en un point par Bernoulli :

En considérant que les deux systèmes sont soumis à la même gravité et ont un fluide de même densité, le rapport des énergies totales des 2 systèmes donne :

\(\frac{gH'}{gH''}=\frac{gz'+\frac{{V'}^2}{2}+\frac{p'}{\rho}}{gz''+ \frac{{V''}^2}{2}+\frac{p''}{\rho}}\)

\(\frac{H'}{H''}\left(gz''+ \frac{{V''}^2}{2}+\frac{p''}{\rho} \right)=gz'+\frac{{V'}^2}{2}+\frac{p'}{\rho}\)

\(H^* gz'' + H^* \frac{{V''}^2}{2}+H^* \frac{p''}{\rho}=z^* gz'' + {V^*}^2 \frac{{V''}^2}{2}+p^* \frac{p''}{\rho}\)

Ce qui nous amène aux lois de similitude suivantes :

\(z^*=H^*\)

\({V^*}^2=H^*\)

\(p^*=H^*\)

DéfinitionLa condition de Combe-Rateau 1892

La relation :

\({V^*}^2=H^*\) ou \(V^*=\sqrt H^*\)

est indépendante de la dimension des turbines. C'est la relation de Combe-Rateau ou similitude cinématique de Combe-Rateau.

  • L'échelle des vitesses et celle des longueurs sont indépendantes (la vitesse est liée à l'énergie seulement)

    • Peu importe la dimension de la turbine, il sera toujours possible de représenter le champ de vitesse à un facteur près.

    • C'est la seule condition qui doit toujours être respectée pour être en similitude.

  • C'est moins contraignant que la condition de Froude mais l'étendue de la similitude est réduite:

    • Le champ de pression n'est plus en similitude particulièrement si les dimensions de la turbine sont proches de la chute. Cet inconvénient devra être évalué et géré.