Champ de pression généré par un tourbillon forcé [Turbines hydrauliques

Champ de pression généré par un tourbillon forcé

Fondamental :

Dans une rotation, la vitesse angulaire constante (\(\omega\)) génère un champ d'accélération (\(a\)) qui conditionne la pression.

La variation de la position angulaire dans le temps nous donne : \(\omega = \frac{d \theta}{d t} =\frac{C_u}{r}\)

Pour un intervalle de temps donné, on obtient une similitude du triangle des déplacements avec celui des vitesses.

Ainsi, le long de la trajectoire circulaire, pour un intervalle de temps infinitésimal la distance parcourue peut s'exprimer : \(r d \theta = C_u dt\)

et simultanément, la variation des vitesses s'exprime sur la même variation angulaire : \(C_u d \theta = a dt\)

Similitude graphique des déplacements et vitesses | Informations^[1]

En éliminant \(d \theta\) de ces deux équations, on obtient :

\begin{matrix} a = \frac{{C_{u}}^{2}}{r} = r ω^{2} \\ F = \int^{Vol} ρ a dVol = \int_{r_{1}}^{r_{2}} ρ r ω^{2} dr dA \\ p = \int ρ r ω^{2} dr = \frac{ρ r^{2} ω^{2}}{2} + Constante \\ p_{2} - p_{1} = \frac{ρ ({r_{2}}^{2} - {r_{1}}^{2}) ω^{2}}{2} = \frac{ρ}{2} ({C_{u 2}}^{2} - {C_{u 1}}^{2}) \end{matrix}

Cette dernière expression nous donne la pression dans un tourbillon forcé.

Fondamental : Poussée axiale résultant du champ de pression généré par un tourbillon forcé

On observe que la variation de pression est directement liée à la vitesse tangentielle du fluide peu importe s'il s'agit d'un tourbillon libre ou forcé. Néanmoins, la vitesse tangentielle est très différente selon le tourbillon et donc la pression sera aussi très différente pour les deux types de tourbillon.

On peut intégrer cette pression sur la surface du disque considérée pour trouver une poussée axiale.

Pour le tourbillon forcé, la force axiale exercée sur le disque est :

\begin{matrix} F = \int pdA = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \int_{0}^{2 π r} (ρ \frac{r^{2}}{2} ω^{2} + Constante) dr d θ = \int_{r_{1}}^{r_{2}} (ρ \frac{r^{2}}{2} ω^{2} * 2 π r + Constante * 2 π r) dr \\ F = π ρ ω^{2} \frac{1}{4} ({r_{2}}^{4} - {r_{1}}^{4}) + Constante * π ({r_{2}}^{2} - {r_{1}}^{2}) \\ avec Constante = p_{i} - \frac{ρ {r_{i}}^{2} ω^{2}}{2} \end{matrix}

Exemple : Calcul des efforts axiaux sur un disque entraînant un fluide en rotation

Imaginons une paire de disques qui entraînent un fluide à l'aide d'ailettes radiales dimensionnées entre 30 et 70 mm de rayon et tournant à 5500 tpm^[2].

Étant donné une pression mesurée à 100 kPa au rayon de 30 mm, calculons la pression au rayon 70 mm.

On commence par calculer les vitesses tangentielles aux deux rayons d'intérêt.

La vitesse angulaire est : \(\omega = 5500 \ tpm * \frac {2 \pi \ radians}{1 tour}* \frac {1 min}{60 \ secondes}= 576\ radians / s\)

\(C_u = r \ \omega\)

\(C_{u30}= 0,03 * 576 = 17,3 \ m/s\)

\(C_{u70}= 0,07 * 576 = 40,3 \ m/s\)

On a vu précécemment que :

\(p_{70} - p_{30} = \frac{\rho }{2} ( C_{u70}^2-C_{u30}^2) = \frac{1000 }{2} ( 40,3^2-17,3^2) = 662 \ kPa\)

\(p_{70} = (662 + 100) \ kpa = 762 \ kPa\)

Calculons maintenant l'effort sur la face horizontale d'un disque.

La constante d'intégration pour notre problème est :

\(Constante = 100000- \frac{1000 *0,03^2 *576^2}{2}= -49300 \ Pa\)

Maintenant, la force sur le disque dans ce champ d'accélération.

\(F=\pi *1000* \frac{576^2}{4}(0.07^4-0,03^4)-49300*\pi*(0,07^2-0,03^2)=5425 \ N\)

Ici, on a fait abstraction de la section des ailettes qui réduisent la surface du disque et donc la force.

On doit observer, qu'un écoulement radial peut se superposer au phénomène et il peut exister dans les deux directions, sans perturber fondamentalement le phénomène analysé ici.