L'effet d'une variation d'ouverture sur les conditions hydrauliques - Cas 1, le coup de bélier de masse [Turbines hydrauliques

L'effet d'une variation d'ouverture sur les conditions hydrauliques - Cas 1, le coup de bélier de masse

Définition : Le coup de bélier de masse

Supposons une conduite forcée infiniment rigide et le fluide incompressible. C'est le cas des conduites courtes et les temps de manœuvre rapides par rapport au temps d'aller retour de l'onde.

Lors d'une manœuvre qui fait varier le débit, on est en présence d'un coup de bélier de masse.

Fondamental :

Appliquons la loi de Newton à la variation de la quantité de mouvement de l'eau dans une conduite lors d'une manœuvre de coupure de débit.
Au point de coupure, la variation de la quantité de mouvement crée un variation de pression dans le sens inverse :

Le coup de bélier de masse | Informations^[1]

$m \frac{d V}{d t}=-\Delta p A = - \rho g \Delta H A$

et sachant que $m = \rho L A$

on obtient :$ \Delta H = \frac{-L}{g}\frac{dV}{dt}$

Définition : Le temps caractéristique de l'inertie de l'eau dans la conduite

C'est le temps qui permet d'obtenir une variation de la charge égale à la charge initiale pour une coupure complète du débit.

Posons : $Δ h = \frac{Δ H}{H_{0}}$ , le taux de variation de la pression par rapport à la pression initiale.
Pour une vitesse dans la conduite à la pleine charge de la turbine $V_p$ :
$\Delta h = \frac{-L V_p}{gH_0}\frac{d\frac{V}{V_p}}{dt}$
où $\Theta =\frac{L V_p}{gH_0}$ est le temps caractérisique de l'inertie de l'eau dans la conduite.
Si la conduite n'est pas uniforme :
$\Theta =\frac{\sum(L V_p)}{gH_0}$

On observera que ce concept en est un purement de définition car il ne représente pas fidèlement le phénomène physique.

Fondamental : Pour une coupure linéaire de débit

Supposons que la turbine coupe linéairement le débit en manœuvrant les directrices. Ouverture, temps et débit s'expriment linéairement les uns par rapport aux autres.

Toutefois, à cause de l'augmentation de la pression lors de la coupure dynamique, le débit ne variera plus linéairement.

Pour la condition initiale 𝑉₀ et 𝐻₀ , avec la relation de Combe-Rateau, on peut écrire pour un instant 𝑡 suivant :

$\frac{V}{V_0}=\sqrt{ \frac{H_0+\Delta H}{H_0} }=\sqrt{1+\Delta h}$

En condition stabilisée, pour une position des directrices qui correspond à un temps $t$ compris entre $0$ et $t_p$ :
$V= V_p \left ( 1-\frac{t}{t_p} \right )$
Où $t$ est le temps d'exécution d'une coupure et $t_p$ est temps de fermeture complète depuis la pleine charge.
En condition dynamique la vitesse de l'écoulement dépendra de l'augmentation de la chute :
$V= V_p \left ( 1-\frac{t}{t_p} \right )\sqrt{1+\Delta h}$
Considérant que le $\Delta h$ est petit par rapport à 1, on peut approximer ainsi :
$\frac{V}{V_p}= \left ( 1-\frac{t}{t_p} \right )\sqrt{1+\Delta h} = \left ( 1-\frac{t}{t_p} \right )\left ( 1+\frac{\Delta h}{2} \right )$
sachant que : $\Delta h=-\Theta \frac{d\frac{V}{V_p}}{dt}$
$\Delta h=-\Theta \frac {d\left ( { \left ( 1-\frac{t}{t_p} \right )\left ( 1+\frac{\Delta h}{2} \right )}\right )}{dt}$
$\Delta h=-\Theta \left ( \left ( 1-\frac{t}{t_p} \right )\left ( \frac {d\left ( 1+\frac{\Delta h}{2} \right )}{dt} \right ) +\frac {d\left ( 1-\frac{t}{t_p} \right )}{dt} \left ( 1+\frac{\Delta h}{2} \right ) \right )$
$\Delta h=-\Theta \left (\frac{1}{2} \left (1-\frac {t}{t_p} \right) \frac {d \Delta h}{dt}-\frac{1}{t_p} \left (1+\frac {\Delta h}{2} \right ) \right )$
La valeur maximale de $\Delta h$ est atteinte lorsque $\frac{d\Delta h}{dt}=0$ à $t = t_p$, donc en fin de fermeture.
$\Delta h_{max}=\frac{\Theta}{t_p} \left ( 1+ \frac{\Delta h_{max}}{2} \right )\rightarrow \Delta h_{max}= \frac{\frac{\Theta}{t_p}}{\left ( 1 - \frac{\Theta}{2 t_p} \right)}$

*^[2]

Remarque : Pour une surpression de 100 % en condition dynamique

En posant la surpression à 100% de la chute, $\Delta h_{max}= 1$, alors le temps de fermeture imposé à la pleine charge pour atteindre cette valeur est de $\frac{3}{2} \Theta$ .

Exemple : Calcul d'une surpression pour un coup de bélier massique

Soit une turbine de 330MW sous 116 m de chute avec 92% de rendement à ce point et une conduite forcée de 8 m dia. et 150 m de long

Avec un temps de manœuvre du distributeur de 12 sec on peut calculer la surpression ainsi :

\begin{matrix} Q = \frac{P}{ρ g H η} = \frac{330000000}{1000 * 9,81 * 116 * 0,92} = 315 m^{3} / s \\ V = \frac{Q}{A} = \frac{315}{π * 4^{2}} = 6,27 m / s \\ Θ = \frac{L V_{p}}{{gH}_{0}} = \frac{150 * 6,27}{9,81 * 116} = 0,82 s \\ Δ h_{\max} = \frac{\frac{Θ}{t_{p}}}{(1 - \frac{Θ}{2 t_{p}})} = \frac{\frac{0,82}{12}}{(1 - \frac{0,82}{2 * 12})} = 7,1 % \\ H_{\max} = H_{0} + H_{0} * Δ h_{\max} = 116 + 0,071 * 116 = 124 mce \end{matrix}

Exemple de relation de la surpression en fonction du temps de fermeture pour un coup de bélier de masse | Informations^[3]

Pour une coup de bélier de masse, la coupure instantanée conduit à une surpression infinie.