La chute de rendement
Aux faibles sigmas, la chute de rendement observée peut s'expliquer par la diminution de la chute vue par la roue, plus précisément de la chute interne.
En effet, lorsque le sigma diminue, c'est comme si l'axe roue montait entre le niveau amont et aval. Lorsque la cavitation à la sortie de la roue sature, la roue ne voit plus le niveau aval mais plutôt la tension de vapeur qui est constante. Dans ces circonstances, remonter la roue diminue la distance niveau amont - axe roue tout en conservant la tension de vapeur à la sortie de la roue. Il en résulte une diminution de la chute vue par la roue. On peut le mettre en équations ainsi :
Considérons l'altitude limite du sigma critique avec le cas \(a\) et le cas \(b\) saturé en cavitation, les indices \(1\) et \(2\) correspondent à l'entrée et à la sortie de la turbine.
L'énergie locale s'y exprime :
\(h_{1} = z_{1} + \frac {v_{1}^2}{2g} + \frac{p_{1}}{\rho g}\)
\(h_2 = h_{atm}+h_{faspi}-h_s\)
La chute nette est \(H= h_1 - h_2\)
Pour le cas \(a\) critique en cavitation, la chute nette s'exprime :
\(H_a= h_{1a} - (h_{atm}+h_{faspi}-h_{sa})\)
Pour le cas \(b\) saturé en cavitation :
\(H_b= h_{1b} - (h_{atm}+h_{faspi}-h_{sb})\)
Si on regarde ce que perçoit la roue, noté avec l'indice (\(_I\)) :
Comme il y a cavitation, la valeur de \(h_{2I}\) est tronquée à la tension de vapeur : \(h_{2I}=h_v\).
Pour le cas \(a\), on est au point critique :
\(h_{2aI} = h_v = h_{atm}+h_{faspi}-h_{sa} = h_{2a}\)
Pour le cas \(b\) moins enfoncé :
La roue ne voit pas le niveau aval : \(h_{2bI} \neq h_{atm}+h_{faspi}-h_{sb}\)
\(h_{2bI}=h_v\) et donc \(h_{2bI}=h_{atm}+h_{faspi}-h_{sa} = h_{2a}\)
Cette troncature entraîne que la roue ne voit plus le niveau aval. La différence de \(h_s\) entre les cas \(a\) et \(b\) modifie la chute vue par la roue.
La chute interne vue par la roue :
\(H_{bI}=h_{1b}-h_{2a}\)
Alors que la chute nette est :
\(H_b=h_{1b}-h_{2b}\)
La perte peut donc s'écrire \(H_{bI}-H_b =-h_{2a} + h_{2b}= -(h_{atm}+h_{faspi}-h_{sa}) + (h_{atm}+h_{faspi}-h_{sb})=h_{sa}-h_{sb}\)
Sachant que \(H_a=H_b\), la perte de rendement entre les cas \(a\) et \(b\) s'exprime :
\(\Delta \eta_{a->b} =\frac{H_{bI}-H_a}{H_a}=\frac{-h_{sb} + h_{sa}} {H_a}\)
de plus \(\Delta \sigma = \sigma_b- \sigma_a=\frac{-h_{sb} + h_{sa}} {H_a}\)
On obtient : \(\Delta \eta =\Delta \sigma\)
Donc, en condition de saturation en cavitation de sortie, la variation de rendement est égale à la variation de sigma. C'est une droite.
Exemple : Chute de rendement d'une turbine par saturation de la cavitation à la sortie.
Soit une turbine en cavitation qui sature à partir d'une hauteur de sustentation (\(h_s\)) égale à 3 m.
Quelle est la perte de rendement si on augmente la hauteur de sustentation à 6 m ?
\(\sigma_a=\frac{10,2+5-3-0,2}{30}=0,4\)
\(\sigma_b=\frac{10,2+5-6-0,2}{30}=0,3\)
\(\Delta\eta_{a\rightarrow b}=0,3-0,4=-10\)%
On comprend bien l'importance de l'enfoncement sur la cavitation et sur le rendement. Il suffit de 3 m de différence pour créer une perte de rendement de 10% qui se traduira par une perte de puissance d'environ 15%.