Calcul de la perte aspirateur contribuant au chiffre de cavitation
La perte aspirateur est un phénomène ambivalent. D'une part, elle pénalise la performance de la turbine, rendement et puissance, et d'autre part elle augmente la pression absolue sous la roue et donc diminue la cavitation. Ce dernier aspect est celui que l'on souhaite évaluer pour calculer le chiffre de cavitation
Fondamental : Calcul de la perte aspirateur pour tout point de fonctionnement
Comme on l'a vu dans le paragraphe Étude de l'aspirateur, la perte aspirateur est le résultat de deux composantes, la perte singulière (indice ns, non scalable) résultant de l'énergie cinétique à la sortie, appelée ici \(h_{ns_6}\), et la perte transposable (indice s, scalable) résultant de la friction \(h_{s56}\) :
\(\color{red}h_{faspi}=h_{ns_6}+h_{s56}\)
Au sommet de rendement, la composante cinétique peut s'approximer assez précisément à partir de la vitesse débitante :
\(h_{ns_6}= {{v_6}^2 \over {2 g}}=\frac{ \left( \frac{Q_{opt}}{A_{SortieAspi}} \right)^2}{2 g}\)
Il faut évidemment choisir la section en \(6\), \(A_{SortieAspi}\), perpendiculaire à l'écoulement moyen pour obtenir \(v_6\) à partir du débit.
Ce calcul de l'énergie cinétique au point de rendement maximum est très réaliste. En effet, la vitesse débitante en \(6\) et la vitesse réelle en \(6\) y sont pratiquement égales. Ce qui n'est pas le cas pour tout autre point de fonctionnement.
Si on connait le rendement sommet \(\eta_{opt}\), on peut calculer la perte par friction entre l'entrée (3) et la sortie (6) de la turbine comme étant :
\(h_{s36opt}=(1-\eta_{opt})H-h_{ns_{6opt}}\)
\(h_{s36opt}=(1-\eta_{opt})H-\frac{ \left( \frac{Q_{opt}}{A_{SortieAspi}} \right)^2}{2 g }\)
Le prototype tournant à la vitesse synchrone, il est exploité sous une nombre de Reynolds constant. Selon Le traitement des pertes par le CEI60193, il en résulte donc que la perte transposable \(h_{s36}\) est constante pour toute la zone d'opération.
\(h_{s36}=(1-\eta_{opt})H-\frac{ \left( \frac{Q_{opt}}{A_{SortieAspi}} \right)^2}{2 g}\)
Approche précise
Connaissant le rendement d'un point de fonctionnement autre que l'optimum, noté \(\eta_{proto}\), on peut déduire la perte d'énergie cinétique proto \(h_{ns36proto}\) entre l'entrée et la sortie turbine :
\(h_{ns36proto}=(1-\eta_{proto})H -h_{s36}\)
En posant comme hypothèse que toutes les pertes singulières sont celles à la sortie de l'aspirateur :
\(h_{ns6proto}=(1-\eta_{proto})H -h_{s36}\)
La perte aspirateur au point de fonctionnement s'exprime alors :
\(h_{faspi}=h_{ns_6proto}+h_{s56opt}\)
donc :
\(h_{faspi}=(1-\eta_{proto})H -h_{s36}+h_{s56opt}\)
\(h_{faspi}=(1-\eta_{proto})H - (1-\eta_{opt})H+\frac{ \left( \frac{Q_{opt}}{A_{SortieAspi}} \right)^2}{2 g}+h_{s56opt}\)
\(h_{faspi}=\eta_{opt}H-\eta_{proto}H+\frac{ \left( \frac{Q_{opt}}{A_{SortieAspi}} \right)^2}{2 g}+h_{s56opt}\)
À cette étape, \(h_{s56opt}\) n'est pas connue mais est très faible, on suggère donc de la négliger :
\(h_{faspi}=\eta_{opt}H-\eta_{proto}H+\frac{ \left( \frac{Q_{opt}}{A_{SortieAspi}} \right)^2}{2 g}\)
Cette approche se base donc sur l'hypothèse que toute la perte singulière de la turbine est la perte d'énergie cinétique à la sortie de l'aspirateur. Ainsi, on surévalue légèrement pression sous la roue. Par contre, on néglige l'augmentation de cette pression due aux pertes transposables dans l'aspirateur au point optimal \(h_{s56opt}\).
Approche sécuritaire
En alternative à ce calcul, une approche plus conservatrice du point de vue de la cavitation serait de considérer la perte aspirateur comme étant l'énergie cinétique à la sortie de l'aspirateur en la calculant à partie de la vitesse débitante. Il est évident qu'il s'agit là d'une grossière approximation mais elle est généralement sécuritaire. La perte par friction transposable \(h_{s56opt}\) devrait être ajoutée mais elle reste inconnue et très faible.
\(h_{faspi}=\frac{ \left( \frac{Q_{proto}}{A_{SortieAspi}} \right)^2}{2 g}\)
Cette approche sous estime généralement la pression sous la roue conduisant à un enfoncement supérieur d'où l'étiquette sécuritaire. C'est celle qui est la plus utilisée.