La cavitation et Bernoulli
La cavitation et Bernoulli
Considérons la figure et soit le point de référence \(r\) à la sortie de la roue, l'énergie en ce point exprimée sous forme de chute est \(h_r\).
À la sortie de l'aspirateur en \(2\) mais avant l'expansion brusque, \(h_r\) et \(h_2\) sont considérées égales.
Entre \(h_2\) à l'amont de l'expansion brusque et \(h_{2'}\) à l'aval de l'expansion brusque, il y a une perte d'énergie cinétique noté \(h_{faspi}\) tel que : \(h_2 - h_{faspi} = h_{2'}\)
Le niveau d'énergie en 2' est le même qu'en 4. On peut donc écrire :
\(h_r=h_2=h_2'+h_{faspi}=h_4+h_{faspi}\)
\(h_r=z_r+\frac{v_r^2}{2g}+\frac{p_r}{\rho g}=z_4+h_{atm}+h_{faspi}\)
Comme \(h_s=z_r-z_4\) :
\(h_r=z_4+h_s+\frac{v_r^2}{2g}+\frac{p_r}{\rho g}=z_4+h_{atm}+h_{faspi}\)
Au fonctionnement critique, quand la tension de vapeur est atteinte, la pression locale \(p_r/{\rho g}\) est égale à \(h_v\). Donc :
\(h_s+\frac{v_r^2}{2g}+h_v=h_{atm}+h_{faspi}\)
En isolant le terme de vitesse sous la roue on trouve :
\(\frac{v_r^2}{2g}=h_{atm}+h_{faspi}-h_s-h_v=NPSH=H \sigma_c\)
Cette dernière équation décrivant le fonctionnement au point critique permet de relier la vitesse sous la roue \(v_r\) à sa hauteur de sustentation \(h_s\) au moment ou la cavitation est établie. Cette remarque a des conséquences majeures sur le dimensionnement de la turbine puisque ainsi pour un débit souhaité, le diamètre de la roue et son enfoncement sont liés.
Pour les différents usages on peut exprimer cette équation dans chaque système de similitude.
Pour le système \(n_{11}-Q_{11}\) :
\(\frac{v_r^2}{2g}=\frac{8Q_{11}^2}{g\pi^2}H\)
\(\sigma_c=\frac{8Q_{11}^2}{g\pi^2} \rightarrow k_{11}=\frac{\sigma_c}{Q_{11}^2}=\frac{8}{g\pi^2}=0,0826\)
Pour le système \(n_{ed}-Q_{ed}\) :
\(\frac{v_r^2}{2g}=\frac{8Q_{ed}^2}{\pi^2}H\)
\(\sigma_c=\frac{8Q_{ed}^2}{\pi^2} \rightarrow k_{ed}=\frac{\sigma_c}{Q_{ed}^2}=\frac{8}{\pi^2}=0,8106\)
Pour le système \(\varphi - \psi\) :
\(\frac{v_r^2}{2g}=\frac{\varphi^2\omega^2D^2}{8g}=\frac{\varphi^2U^2}{2g}=\frac{\varphi^2H}{\psi}\)
\(\sigma_c=\frac{\varphi^2}{\psi}\rightarrow k_{\varphi\psi}=\frac{\sigma}{{\varphi^2}/{\psi}}=1\)
François Avellan dans « Introduction to cavitation in hydraulic machinery »[2] appelle cette variable \(\kappa\).
Ces équations ont été développées pour le point de fonctionnement critique mais plus généralement, il y a une relation entre le débit et le nombre de cavitation au sigma d'installation de la turbine nommé sigma plant en anglais.
Fondamental :
De ce développement, on s'aperçoit donc que le débit et l'enfoncement sont liés à la cavitation. Il existe une limite théorique de hauteur de sustentation \(h_s\) sous laquelle, pour une débit donné, la cavitation isolera la roue du niveau aval et ainsi limitera la puissance de la machine.
Cette limite s'exprime plus commodément par la variable \(k\) présentée ici sous les trois systèmes de similitudes.
Cette valeur de \(k\) est un minimum absolu et prend une importance fondamentale dans le dimensionnement des turbines.
En réalité, on n'implante jamais une machine à cette limite. Considérant l'apparition de bulle comme un critère limite d'implantation d'une machine, on observe que le facteur \(k\) où les bulles apparaissent est plus grand que celui calculé ici. On peut imaginer que les aubes dont l'épaisseur n'est pas nulle réduisent la section de passage et voient des vitesses locales supérieures à \(v_r\) ce qui provoque l'apparition de la cavitation plus tôt.
Le facteur \(k\) devient donc un indice de la qualité du tracé hydraulique de la turbine. Plus il est petit, plus le tracé tolère un grand débit avant de caviter. Il devient le critère de dimensionnement pour un tracé donné.
En 2022, de très bons et très rares tracés peuvent montrer un \(k_{11}\) avoisinant 0,12 pour le sigma apparition de bulle. C'est une valeur qui s'est améliorée au fil du temps. Dans les années 80, 0,165 était un objectif valable.
Plus généralement, soit pour le système \(\varphi - \psi\), ces valeurs présentent des facteurs respectifs de 1,45 et 2 fois le sigma critique obtenu dans le développement sur modèle réduit. C'est à dire que le sigma apparition de bulle est \(k_{\varphi \psi}\) (variant de 1,45 à 2) fois le sigma critique mesuré lors des essais sur modèle réduit.