Méthode d'Allievi - généralisation pour pas de temps réduit

ComplémentPas de temps demi de 2L/c

De façon similaire, si à tous les pas de temps L/c, l'obturateur bouge instantanément, on suivra plus finement le mouvement de l'obturateur et on obtiendra :

Représentation à chaque pas de temps (0,5 ; 1 ; 1,5 et 2), l'effet de la coupure partielle instantanée et résultat cumulatif en résultantInformations[1]

Au temps initial t 0 H 0 = H 0 Au temps suivant t 0,5 = L / c H 0,5 = H 0 + Δ H 0,5 À t 1 = 2 L / c H 1 = H 0 + Δ H 0,5 + Δ H 1 À t 1,5 = 3 L / c H 1,5 = H 0 − Δ H 0,5 + Δ H 1 + Δ H 1,5 À t 2 = 4 L / c H 2 = H 0 − Δ H 0,5 − Δ H 1 + Δ H 1,5 + Δ H 2 À t 2,5 = 5 L / c H 2,5 = H 0 + Δ H 0,5 − Δ H 1 − Δ H 1,5 + Δ H 2 + Δ H 2,5 À t 3 = 6 L / c H 3 = H 0 + Δ H 0,5 + Δ H 1 − Δ H 1,5 − Δ H 2 + Δ H 2,5 + Δ H 3 Soit h 1 = Δ H 0,5 + Δ H 1 h 2 = Δ H 1,5 + Δ H 2 h 3 = Δ H 2,5 + Δ H 3 ... et ainsi de suite et h 0,5 = Δ H 0,5 h 1,5 = Δ H 1 + Δ H 1,5 h 2,5 = Δ H 2 + Δ H 2,5 h 3,5 = Δ H 3 + Δ H 3,5 ... et ainsi de suite en généralisant, pour des pas de temps de L / c indice entier: H 1 = H 0 + h 1 H 2 = H 0 − h 1 + h 2 H 3 = H 0 + h 1 − h 2 + h 3 ... et ainsi de suite H i = 2 H 0 − H i-1 + h i en généralisant, pour des pas de temps de L / c indice demi: H 0.5 = H 0 + h 0.5 H 1,5 = H 0 − h 0,5 + h 1,5 H 2,5 = H 0 + h 0,5 − h 1,5 + h 2,5 H 3,5 = H 0 − h 0,5 + h 1,5 − h 2,5 + h 3,5 ... et ainsi de suite H i = 2 H 0 − H i-1 + h i et donc : H i = 2 H 0 − H i-1 + Δ H i-0,5 + Δ H i "Au temps initial " t_0 newline H_0=H_0 newline "Au temps suivant "t_0,5=L/c newline H_0,5=H_0+ %DELTA H_0,5 newline "À " t_1=2L/c newline H_1=H_0+ %DELTA H_0,5+ %DELTA H_1 newline "À " t_1,5=3L/c newline H_1,5=H_0- %DELTA H_0,5+ %DELTA H_1 + %DELTA H_1,5 newline "À " t_2=4L/c newline H_2=H_0- %DELTA H_0,5- %DELTA H_1 + %DELTA H_1,5+ %DELTA H_2 newline "À " t_2,5=5L/c newline H_2,5=H_0+ %DELTA H_0,5- %DELTA H_1 - %DELTA H_1,5+ %DELTA H_2+ %DELTA H_2,5 newline "À " t_3=6L/c newline H_3=H_0+ %DELTA H_0,5+ %DELTA H_1 - %DELTA H_1,5- %DELTA H_2+ %DELTA H_2,5+ %DELTA H_3 newline newline "Soit " newline h_1=%DELTA H_0,5+ %DELTA H_1 newline h_2=%DELTA H_1,5+ %DELTA H_2 newline h_3=%DELTA H_2,5+ %DELTA H_3 newline "... et ainsi de suite" newline "et " newline h_0,5= %DELTA H_0,5 newline h_1,5= %DELTA H_1 + %DELTA H_1,5 newline h_2,5= %DELTA H_2 + %DELTA H_2,5 newline h_3,5= %DELTA H_3 + %DELTA H_3,5 newline "... et ainsi de suite" newline newline newline "en généralisant, pour des pas de temps de " L/c " indice entier:" newline newline H_1=H_0+ h_1 newline H_2=H_0-h_1+h_2 newline H_3=H_0+h_1-h_2+h_3 newline "... et ainsi de suite" newline newline H_i=2H_0 - H_"i-1"+ h_i newline newline newline "en généralisant, pour des pas de temps de " L/c " indice demi:" newline newline H_0.5 = H_0 + h_0.5 newline H_1,5 = H_0 - h_0,5 + h_1,5 newline H_2,5 = H_0 + h_0,5 - h_1,5 + h_2,5 newline H_3,5 = H_0 - h_0,5 + h_1,5 - h_2,5 + h_3,5 newline "... et ainsi de suite" newline newline H_i=2H_0 - H_"i-1"+ h_i newline "et donc :" newline H_i=2 H_0 - H_"i-1"+ %DELTA H_"i-0,5"+ %DELTA H_i

ComplémentPas de temps quart de 2L/c

Similairement ...

Au temps initial t 0 H 0 = H 0 Au temps suivant t 0,25 H 0,25 = H 0 + Δ H 0,25 À t 0,5 = L / c H 0,5 = H 0 + Δ H 0,25 + Δ H 0,5 À t 0,75 = 1,5 L / c H 0,5 = H 0 + Δ H 0,25 + Δ H 0,5 + Δ H 0,75 À t 1 = 2 L / c H 1 = H 0 + Δ H 0,25 + Δ H 0,5 + Δ H 0,75 + Δ H 1 À t 1,25 = 2,5 L / c H 1,25 = H 0 − Δ H 0,25 + Δ H 0,5 + Δ H 0,75 + Δ H 1 + Δ H 1,25 À t 1,5 = 3 L / c H 1,5 = H 0 − Δ H 0,25 − Δ H 0,5 + Δ H 0,75 + Δ H 1 + Δ H 1,25 + Δ H 1,5 À t 1,75 = 3,5 L / c H 1,75 = H 0 − Δ H 0,25 − Δ H 0,5 − Δ H 0,75 + Δ H 1 + Δ H 1,25 + Δ H 1,5 + Δ H 1,75 À t 2 = 4 L / c H 2 = H 0 − Δ H 0,25 − Δ H 0,5 − Δ H 0,75 − Δ H 1 + Δ H 1,25 + Δ H 1,5 + Δ H 1,75 + Δ H 2 À t 2,25 = 4,5 L / c H 2,25 = H 0 + Δ H 0,25 − Δ H 0,5 − Δ H 0,75 − Δ H 1 − Δ H 1,25 + Δ H 1,5 + Δ H 1,75 + Δ H 2 + Δ H 2,25 À t 2,5 = 5 L / c H 2,5 = H 0 + Δ H 0,25 + Δ H 0,5 − Δ H 0,75 − Δ H 1 − Δ H 1,25 − Δ H 1,5 + Δ H 1,75 + Δ H 2 + Δ H 1,75 + Δ H 2,5 À t 2,75 = 5,5 L / c H 2,75 = H 0 + Δ H 0,25 + Δ H 0,5 + Δ H 0,75 − Δ H 1 − Δ H 1,25 − Δ H 1,5 − Δ H 1,75 + Δ H 2 + Δ H 1,75 + Δ H 2,5 + Δ H 2,75 À t 3 = 6 L / c H 3 = H 0 + Δ H 0,25 + Δ H 0,5 + Δ H 0,75 + Δ H 1 − Δ H 1,25 − Δ H 1,5 − Δ H 1,75 − Δ H 2 + Δ H 1,75 + Δ H 2,5 + Δ H 2,75 + Δ H 3 Soit h 1 = Δ H 0,25 + Δ H 0,5 + Δ H 0,75 + Δ H 1 h 2 = Δ H 1,25 + Δ H 1,5 + Δ H 1,75 + Δ H 2 h 3 = Δ H 2,25 + Δ H 2,5 + Δ H 2,75 + Δ H 3 etc . et h 0,25 = Δ H 0,25 h 1,25 = Δ H 0,5 + Δ H 0,75 + Δ H 1 + Δ H 1,25 h 2,25 = Δ H 1,5 + Δ H 1,75 + Δ H 2 + Δ H 2,25 h 3,25 = Δ H 2,5 + Δ H 2,75 + Δ H 3 + Δ H 3,25 etc . et h 0,5 = Δ H 0,25 + Δ H 0,5 h 1,5 = Δ H 0,75 + Δ H 1 + Δ H 1,25 + Δ H 1,5 h 2,5 = Δ H 1,75 + Δ H 2 + Δ H 2,25 + Δ H 2,5 h 3,5 = Δ H 2,75 + Δ H 3 + Δ H 3,25 + Δ H 3,5 etc . et h 0,75 = Δ H 0,25 + Δ H 0,5 + Δ H 7,5 h 1,75 = Δ H 1 + Δ H 1,25 + Δ H 1,5 + Δ H 1,75 h 2,75 = Δ H 25 + Δ H 2,25 + Δ H 2,5 + Δ H 2,75 h 3,75 = Δ H 3 + Δ H 3,25 + Δ H 3,5 + Δ H 3,75 etc . en généralisant, pour des pas de temps de L / c indice entier: H 1 = H 0 + h 1 H 2 = H 0 − h 1 + h 2 H 3 = H 0 + h 1 − h 2 + h 3 etc . H i = 2 H 0 − H i-1 + h i en généralisant, pour des pas de temps de L / c indice quart: H 0.25 = H 0 + h 0.25 H 1,25 = H 0 − h 0,25 + h 1,25 H 2,5 = H 0 + h 0,25 − h 1,25 + h 2,25 H 3,5 = H 0 − h 0,25 + h 1,25 − h 2,25 + h 3,25 etc . H i = 2 H 0 − H i-1 + h i et donc : H i = 2 H 0 − H i-1 + Δ H i-0,75 + Δ H i-0,5 + Δ H i-0,25 + Δ H i "Au temps initial " t_0 newline newline H_0=H_0 newline "Au temps suivant " t_0,25 newline newline H_0,25=H_0+ %DELTA H_0,25 newline newline "À " t_0,5=L/c newline newline H_0,5=H_0 + %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 newline newline "À " t_0,75=1,5L/c newline newline H_0,5=H_0 + %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 newline newline "À " t_1=2L/c newline newline H_1=H_0 + %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 newline newline "À " t_1,25=2,5L/c newline newline H_1,25=H_0 - %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 + %DELTA H_1,25 newline newline "À " t_1,5=3L/c newline newline H_1,5=H_0 - %DELTA H_0,25 - %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 + %DELTA H_1,25 + %DELTA H_1,5 newline newline "À " t_1,75=3,5L/c newline newline H_1,75=H_0 - %DELTA H_0,25 - %DELTA H_0,5 - %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 + %DELTA H_1,25 + %DELTA H_1,5 + %DELTA H_1,75 newline newline "À " t_2=4L/c newline newline H_2=H_0 - %DELTA H_0,25 - %DELTA H_0,5 - %DELTA H_0,75 - %DELTA H_1 + %DELTA H_1,25 + %DELTA H_1,5 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2 newline newline "À " t_2,25=4,5L/c newline newline H_2,25=H_0 + %DELTA H_0,25 - %DELTA H_0,5 - %DELTA H_0,75 - %DELTA H_1 - %DELTA H_1,25 + %DELTA H_1,5 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2 + %DELTA H_2,25 newline newline "À " t_2,5=5L/c newline newline H_2,5=H_0 + %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 - %DELTA H_0,75 - %DELTA H_1 - %DELTA H_1,25 - %DELTA H_1,5 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2,5 newline newline "À " t_2,75=5,5L/c newline newline H_2,75=H_0 + %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 - %DELTA H_1 - %DELTA H_1,25 - %DELTA H_1,5 - %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2,5 + %DELTA H_2,75 newline newline "À " t_3=6L/c newline H_3=H_0 + %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 - %DELTA H_1,25 - %DELTA H_1,5 - %DELTA H_1,75 - %DELTA H_2 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2,5 + %DELTA H_2,75 + %DELTA H_3 newline newline newline newline "Soit " newline h_1=%DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 newline h_2=%DELTA H_1,25 + %DELTA H_1,5 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2 newline h_3=%DELTA H_2,25 + %DELTA H_2,5 + %DELTA H_2,75 + %DELTA H_3 newline etc. newline " et " newline h_0,25= %DELTA H_0,25 newline h_1,25= %DELTA H_0,5 + %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 + %DELTA H_1,25 newline h_2,25= %DELTA H_1,5 + %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2 + %DELTA H_2,25 newline h_3,25= %DELTA H_2,5 + %DELTA H_2,75 + %DELTA H_3 + %DELTA H_3,25 newline etc. newline " et " newline h_0,5= %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 newline h_1,5= %DELTA H_0,75 + %DELTA H_1 + %DELTA H_1,25 + %DELTA H_1,5 newline h_2,5= %DELTA H_1,75 + %DELTA H_2 + %DELTA H_2,25 + %DELTA H_2,5 newline h_3,5= %DELTA H_2,75 + %DELTA H_3 + %DELTA H_3,25 + %DELTA H_3,5 newline etc. newline " et " newline h_0,75= %DELTA H_0,25 + %DELTA H_0,5 + %DELTA H_7,5 newline h_1,75= %DELTA H_1 + %DELTA H_1,25 + %DELTA H_1,5 + %DELTA H_1,75 newline h_2,75= %DELTA H_25 + %DELTA H_2,25 + %DELTA H_2,5 + %DELTA H_2,75 newline h_3,75= %DELTA H_3 + %DELTA H_3,25 + %DELTA H_3,5 + %DELTA H_3,75 newline etc. newline newline newline "en généralisant, pour des pas de temps de " L/c " indice entier:" newline newline H_1=H_0+ h_1 newline H_2=H_0-h_1+h_2 newline H_3=H_0+h_1-h_2+h_3 newline etc. newline newline H_i=2H_0 - H_"i-1"+ h_i newline newline newline "en généralisant, pour des pas de temps de " L/c " indice quart:" newline newline H_0.25 = H_0 + h_0.25 newline H_1,25 = H_0 - h_0,25 + h_1,25 newline H_2,5 = H_0 + h_0,25 - h_1,25 + h_2,25 newline H_3,5 = H_0 - h_0,25 + h_1,25 - h_2,25 + h_3,25 newline etc. newline newline H_i=2H_0 - H_"i-1"+ h_i newline "et donc :" newline H_i=2 H_0 - H_"i-1"+ %DELTA H_"i-0,75"+ %DELTA H_"i-0,5"+ %DELTA H_"i-0,25"+ %DELTA H_"i"

Méthode d'Allievi - généralisation pour tout pas de temps

Fondamental

Pour \(m\) un entier positif, le pas de temps en unité de \(2L/c\) s'exprime comme :

\(j=2^{-m}\)

et donc m est égal à 0, 1, 2 ...

\(j\) prend les valeurs 1, 0,5 , 0,25 ...

Le nombre de fraction de pas

\(n=1/j\)

et prends les valeurs 1, 2, 4 ...

Suivant la nomenclature utilisée précédemment :

h i = ∑ k = 1 k = n Δ H i-kj+j H i = 2 H 0 − H i-1 + h i h_i= sum from{k=1} to{ k=n } %DELTA H_"i-kj+j" newline newline H_i=2 H_0 - H_"i-1"+ h_i